ほとんどのサイズの最小のDFAの数？

してみましょうサイズのアルファベットも、及びそのサイズはせいぜいによって制限され、最小のDFA考える。そのような最小のDFAの数を示すとしましょう。 $\Sigma$ $2$ $m$ $f(m)$

閉形式の式を見つけることができますか？ $f(m)$

の場合、サイズが最大で DFAの遷移関数はグラフであることを考慮してください。ノードの次数はで囲まれているため、各ノードには、アークのペアの可能性があります（コメントで提案されています）。このグラフであり、最大であるの初期状態の可能な選択肢と高々最終状態の集合の可能な選択肢を。したがって、最大でのサイズのDFAの最大数はです。 $|\Sigma|=2$ $m$ $2$ $m^2$ $m$ $2^m$ $m$ $f(m) \leq m^{2m}\cdot m\cdot2^m = 2^m\cdot m^{2m+1}$

任意のアルファベットに一般化できます：境界はます。 $\Sigma$ $f(m) \le 2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

ただし、ここでは任意のDFAを制限しました。最小DFAの数を制限することに興味があります。したがって、この限界はよりタイトになる可能性があるようです...誰かがより良い見積もりを持っていますか？

できれば、この問題に関連するいくつかの論文や証明/反例をいただければ幸いです。

— ルス
ソース

私はあなたの上限が正しいとは思いません。それがあるべきであるように見えなく、。各ノードについて、そのノードから引き出されている2つのアークを検討してください。最初の弧が行く場所には可能性があり、2番目の弧が行く場所には可能性があるので、合計で可能性があります。あるノードがので、得、弧のセットのための可能性。一般化は。

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times 2^{2 m}

$f(m) \le m \times 2^m \times 2^{2m}$

m

$m$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

m

$m$

(m^{2})^{m} = m^{2 m}

$(m^2)^m = m^{2m}$

f (m) \leq m \times 2^{m} \times m^{| Σ | m}

$f(m) \le m \times 2^m \times m^{|\Sigma| m}$

— DW

関連する可能性のある参照を以下に示します。「n個の状態を持つ有限オートマトンによって受け入れられる多数の異なる言語で」-citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.8.2838

— Michael Wehar

私の間違いを訂正し、実際に関連しているこの参照を私に与えてくれた両方の皆さんに感謝します。

— Luz

回答:

Ishigami Y.、Tani S.（1993）によると、n個の状態を持つ有限オートマトンのVC次元http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57370-4_58のVC次元サイズアルファベットの DFA の概念クラスは、したがって、文字のアルファベットには少なくとも異なるオートマトンが存在します。このようなオートマトンの数の上限は、単純なカウントの引数（論文に記載）に基づいており、最大でです。 $n$ $k$

d = d (n, k) := (k - 1 + o (1)) n \log_{2} n .

$d=d(n,k) := (k-1+o(1))n\log_2 n.$

2^{d}

$2^d$

n

$n$

k

$k$

2^{d}

$2^d$

— アリーエ
ソース

ありがとう。あなたの回答から、状態のDFA が存在することを理解しています（少なくとも多くても）。しかし、私は最小限のDFAを数えることに興味があります。したがって、あなたの上限は私の答えで与えられたものと矛盾しませんよね？

m^{(| Σ | - 1 + o (1)) m}

$m^{(|\Sigma| - 1 + o(1)) m}$

m

$m$

— Luz

VCディメンションは表現に依存しないため、これは実際には最小のDFAも数えると思います。実際には、最小のDFAに対応する個別の言語を数えています。

— 2017

ああ:(それからあなたの限界は私のものと矛盾しています...私のものは大きな分母を持っているのでそれはあなたのものよりはるかに下にあります...どうしてですか??

(m - 1)!

$(m-1)!$

— Luz

(m - 1)!

$(m-1)!$

m^{m}

$m^m$

実際、Thmの証明を見れば。3.2リンクした論文では、分母にその正確な表現が見られます。

— 2017

（注：受け入れられた回答で与えられた上限は、ここで与えられたものと同じかそれ以上です）

この論文では、以前のコメントの1つである上限が提案されています。「n個の状態を持つ有限オートマトンによって受け入れられる個別の言語の数について」（2002、M。Domaratzki、D。Kisman、J。Shallit）。

本論文で：

$f_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$
$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ ${|\Sigma|}$

$g_{|\Sigma|}(m)$ $m$ $m$

$6$ $8$ $g_{|\Sigma|}(m) \leq \frac{2^m\cdot m^{|\Sigma|m}}{(m-1)!}$ $2^m\cdot m^{|\Sigma|m+1}$

$f_{|\Sigma|}(m)$

— ルス
ソース