PPADは、別の不均衡な頂点を見つけるという概念を本当に捕らえていますか？

複雑性クラスPPADは、1994年の独創的な論文でChristos Papadimitriouによって発明されました。このクラスは、「有向グラフのパリティ引数」によってソリューションの存在が保証される検索問題の複雑さをキャプチャするように設計されています。有向グラフに不均衡な頂点がある場合、別の頂点が存在する必要があります。しかし、通常、クラスは、$\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$（$\mathsf{AEOL}$）問題。引数は、入次数と出次数の両方が1 グラフにのみ適用されます$\le 1$。私の質問は、なぜこれらの概念は同等なのですか？

この時点まで、それはこの質問の複製です。ここで、問題を正式に述べ、そこでの答えに満足できない理由を明確にしたいと思います。

検索問題$\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$（$\mathsf{AUV}$）：我々が与えられている2つの多項式サイズの回路$S$及び$P$得る$x\in\{0,1\}^n$との他の要素の多項式リストを返す$\{0,1\}^n$。これらの回路は有向グラフを定義します$G=(V,E)$ここで、$V=\{0,1\}^n$及び$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$。検索の問題は以下の通りである：所与$S$、$P$及び$z\in V$ように$indegree(z)\ne outdegree(z)$、同じプロパティを持つ別の頂点を見つけます。

検索問題$\mathsf{AEOL}$：同じですが、$S$と両方とも$P$空のリストまたは1つの要素を返します。

還元性の概念は、（リッキーの提案に応じて補正）：総探索問題総検索問題に還元性であるB多項式関数を介してFとGの場合、Yはを解決するF （X ）の問題にBを意味し、G （X 、yは）であります問題Aのxの解。 $A$$B$$f$$g$$y$$f(x)$$B$$g(x,y)$$x$$A$

正式な質問：なぜはA E O Lに還元可能か？または、別の還元可能性の概念を使用する必要がありますか？$\mathsf{AUV}$$\mathsf{AEOL}$

Christos PapadimitriouはPPAについての類似の定理を証明しています（Theorem 1、page 505）が、この議論はPPADには機能しないようです。その理由は、度バランスと頂点ということであるに変換されるk個の度バランスの頂点± 1。次に、A E O Lのアルゴリズムは、これらの頂点の1つを取得し、別の頂点を返します。これは、A U Vの新しい頂点を生成しません。$\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

では常に偶数の不均衡な頂点が存在しますが、A U Vでは奇数の頂点が存在する可能性があるため、事態は悪化しています。これが、これら2つのセットの間で全単射を構築できず、gが常にf − 1と等しくなることができない理由です。場合はG （X 、F （X ））≠ X我々は解決する方法得るA U Vの少なくともいくつかの例のために多項式時間です。gがxに依存しない場合、および$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$が y 1 ≠ y 2の場合、 y 2が y 1の答えとして返されます。それは A U Vの解決策にはなりません。$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$

最後の質問：上記の障害はどうにかして克服できますか？がxに依存する可能性がありますか？$g$$x$

問題は同等であることが証明されています（したがって、PPAD完全です）。「毛むくじゃらボール問題はPPAD完全」のセクション8を参照してください。ポールW.ゴールドバーグとアレクサンドロスホレンダー。

これは興味深い質問であり、部分的にしか答えられません。

pの構造が見やすい。Papadimitriouの論文の505は、AUVとその特殊なケースの同等性を示しています

ラインの多くの端（MEOL）：最大1のインディグリーとアウトディグリーを持つ有向グラフ（上記の回路で表される）、およびGのソースの空でないセットXが与えられ、シンクまたはソースvを見つける∉ X。$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

一方では、より多くのソースを1つに減らすようなグラフの変換を想像するのは難しいと思います。

しかし、一方で、MEOLが含むすべての一般的に研究のクラスに属しているPPADをおそらく除いPPAD自体：

まず、明らかに、

MEOLはPPADSにあります。

以下の議論の下にスケッチします

MEOLはPPAにあります

標準のPPAの完全な問題（AEOLの無向バージョン）への縮小によって。MEOLの定義のように、およびXが与えられていると仮定します。$G=(V,E)$$X$

もし奇妙です。グラフを無向にし、Xからの1つの頂点を除くすべてのマッチングを含め（p。505 の引数のように）、結果をXからPPAオラクルに残りのソースとともに渡します。$|X|$$X$$X$

一般的に、、および2 kはsを除算する2の最大累乗です。頂点がVの2 k要素のサブセットである新しいグラフG ′ = （V ′、E ′）を定義します。場合A 、B ∈ Vは、'そのようなセットがあり、我々は、エッジ置く（A 、B ）にEを「私達のようにセットを列挙することができればA $s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$、 B = { B 0、... 、B 2 K - 1 }となるように（I、B I）∈ Eそれぞれについて I < 2 K。$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

明らかに、は最大1の次数と次数を持つ有向グラフです。AN A ∈ V 'は、ソース（シンク、RESP。）を含有するときに限りソース（シンク）であるGを。（すなわち、それは両方を含む場合、それは単離された頂点である）は、任意のこのような頂点の溶液につながるMEOLのない限り、インスタンスAは、である：「既知のソース」であるA ∩ X ≠ ∅。グラフを無向にし、それを操作して、既知のソースの数が残りのソースのマッチングを含めることで1に削減されるようにします。$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

したがって、が既知のソースである場合、t = | A ∩ X | 、これを満たす0 < T ≤ 2 K。場合tは= 2 kは = | A | 、単にA ⊆ X。そのようなセットの数は（$A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$。リコールプライムの多様性というのpにおける（$\binom{s}{2^k}$$p$添加に運ぶの数に等しいB+（-B）=ベースで行わP。選択によってK、その次の（$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$は奇数です。さらに、[0、（aの間に多項式時間全単射があります。$\binom{s}{2^k}$、および[0、a）のb要素サブセット。これを使用して、Xの2k要素のサブセットの1つを除くすべての多項式時間マッチングを定義できます。我々が用いて公知の供給源の数を減らすグラフに含めるT=2Kの1。$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

用、キャリーカウント式示すこと（$0<t<2^k$は偶数です。繰り返しますが、Xのt要素サブセットで明示的な一致を見つけることができます。私たちは、知られているソースにそれを拡張Aで| A∩X| =Tへのマッチングを適用することにより、A∩X、及び離脱A∖Xが固定されています。$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

このようにして、既知のリーフ頂点を1つ持つ無向グラフを作成します。PPAオラクルに別のリーフを要求します。構築により、MEAインスタンスの回答を抽出することができます。

Papadimitriouが簡単に述べたように、任意の素数pに対してPPAをクラスPPA - 一般化できます。PPA - p完全な問題の例は次のとおりです。$p$$p$$p$

AUV - ：有向グラフGと、次数のバランスが$p$$G$、別のそのような頂点を見つけます。${}\not\equiv0\pmod p$

（AUV - pとPPA - pの Papadimitriouの定義との等価性については、この回答を参照してください。）$p$$p$

PPA - は単なるPPAです。クラスPPA - pは、ペアワイズで比較不可能であり、PPADSと比較できないと想定されています。それらにはすべてPPADが含まれます。$2$$p$

上記で概説した引数には、特別なものは何もありませんでした。$p=2$

MEOLはであるPPA - ごとの素数のためのp。$p$$p$