ランダムなオラクルは、どのTFNP問題が平均して非常に難しいかを変更できますか？

この質問を暗号で
見たときから、次の質問についていろいろ考えています。

質問

ましょ $R$ なりTFNPの関係。ランダムなオラクルは、無視できない確率で
を破るためにP / poly を助けることができますか？より正式には、 $R$ $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

する

すべてのP / polyアルゴリズム、は無視できます $A$ $\Pr_x [R(x, A(x))]$

必ずしもそれを意味します

以下のために、ほとんどすべての O racles 、アルゴリズムオラクル全てP /ポリ、無視できます $\O$ $A$ $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$

？

代替処方

関連するオラクルのセットは（したがって測定可能）であるため、対比を取り、コルモゴロフのゼロワン法則を適用すると、次の公式は元の公式と同等になります。 $G_{\delta\sigma}$

する

以下のためのほぼすべてのO racles 、存在するP /ポリオラクルアルゴリズムようではない無視できるが $\O$
$A$ $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$

必ずしもそれを意味します

が無視できないような P / polyアルゴリズムが存在します $A$ $\Pr_x [R(x,A(x))]$

？

ユニフォームケース

これが統一バージョンの証明です：

そうヌル[理想] [8]の可算加法によってのみ可算、多くのPPTオラクル・アルゴリズムが存在する、PPTアルゴリズムである、その結果、非ためのヌルオラクルのセット、は無視できません。してみましょう、このようなオラクル・アルゴリズムで。 $A$ $\O$
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ $B$

同様に、正の整数とすると、nullでないセット場合、は、少なくともであることが多いここで、は入力の長さです。ボレル=カンテッリの対比により、は無限です。 $c$ $\O$
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ $n^{-c}$ $n$
$\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$

比較試験、無限に多くの場合、。 $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$

LET [12] [オラクルをシミュレート]を実行PPTアルゴリズムであるその模擬Oracleと。 $S$ $B$

修正およびletオラクルの集合ように。 $n$ $\Good$ $\O$ $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$

がnullでない場合、。 $\Good$

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$

以降無限しばしば、無視できません。 $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ $\Pr_x[R(x,S(x))]$

したがって、統一バージョンが保持されます。証明は、PPTオラクルアルゴリズムが
非常に多く存在するという事実を批判的に使用しています。多数のP / poly oracle-algorithmsが連続しているため、この考え方は不均一なケースでは機能しません。

— コミュニティ
ソース

これは本当に神託についての質問ではないと思います。以来とは独立して、あなたにもちょうど与える可能性がランダムな文字列へのアクセスを。問題は、ランダム性はポリサイズの回路の能力を高めるかどうかです。場合以降への答えは、「ノー」であるよくしてランダムな文字列へのアクセス権を与えられた、平均化引数で、これでランダムな文字列の特定の設定が存在するでしょううまく行うことができ、その後、私達はちょうど同様かもしれないがそのストリングをの回路に配線します。

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— Adam Smith

@AdamSmith：「はから独立しているので、ランダムな文字列へのアクセスを与えるだけでもよい」とは直感ですが、それを証明に変える方法はありません。

O

$\mathcal{O}$

R

$R$

A

$A$

@アダム、重要な別の数量詞があります。否定を見る方が簡単だと思います。ほとんどすべてのオラクルに、オラクルを使用して検索の問題を解決できる不均一な敵が存在する可能性はありますか？

— Kaveh

そうですか。私は別の質問に答えていました。混乱させて申し訳ありません。

— Adam Smith

@domotorp：すぐに修正する必要があります。（のための私の最高の推測なぜそれが起こったのです。というのインラインリンクより番号のリンクを使用）

$\hspace{1.05 in}$

タイトルには「いいえ」、質問の本文には「はい」です。実際、これは、敵のコードを使用
しないすべての多項式長のゲームにすぐに一般化されます。

$C$ $A$

$\mathcal{O}$
$C$ $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

$\mathcal{O}$

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

$\mathcal{O}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$

jをそのような広告とし、zを（必ずしも効率的ではない）oracle-algorithmとします。これ
は、nを入力として受け取り、最大でj + nのサイズの辞書式に最小のoracle-circuitを出力します。 $^{\hspace{.03 in}j}$
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ 無限に多いnの場合。

そのようなnの場合、

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

$A$ $n$

$x$

$y$

$A$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$ 。
pはのようになりましょう定理2、およびセット $\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$

$\mathcal{S}$ $\mathcal{P}$
$\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ その後

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ 。

そのようなnの場合 $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ ：

$\big[$ $C$ $^{\hspace{.03 in}j}\big]$
$\big[$ $\big]$
$A$ $1$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$
$^{\hspace{.03 in}j}$

$A$ $^{\hspace{.03 in}j}$
$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $^{\hspace{.03 in}j}$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ 、 $\;\;\;$ したがって、次のような多項式があります

$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

解を見つける確率（xの選択を超える）が無視できないP / polyアルゴリズムです。

したがって、私の質問の本文の意味は常に保持されます。

$A$