GCTプログラムの不確実性

でhttps://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_complexity_theory「..ケタン・マルミュリープログラムは、実行可能な場合、それはNP問題対Pを決済することができます前に、約100年かかる可能性があると考えている」と述べられています。

現在実行可能な唯一のプログラムが深刻な障害に直面する可能性があることを示しているようです。

プログラムが失敗する可能性があるいくつかの障害は何ですか？

それは、「GCTプログラム」として何を数えるかに依存します。

1. 特定の提案（GCT I、GCT II）を考慮して、行列式と永続性の軌道閉包で特定の多重度の消失/非消失を使用して、強い永続性対行列式推論を解決します（つまり、永続性が多項式により大きな行列式）。この場合、仮説が真実であっても、これらの軌道クロージャでサポートされる多数のirrepの消失/非消失には反映されない可能性があります。予想が多重度の適切な不平等に反映されていない可能性さえあります。これが起こらないべきであるという証拠には様々な形があることに注意すべきですが、まだ正式には除外されていません。

ただし、多重度の代わりに分離モジュールが必要な場合、分離モジュールが存在する場合にのみ、強力なパーマv det予想が当てはまることに注意してください。

2. 目標が元の恒久的対行列式予想である場合、GCTの初期段階、つまり（chazisopによって指摘されたように）軌道の閉包を考慮することによって強力なパーマv det予想に移行します。元の恒久的対決定論の推測は真であるが、強いバージョンは偽であると考えられます。しかし、これは私には非常にありそうにないようです。また、これが状況である場合、現在の方法はすべて「強力」/「近似」/「ボーダー-」/ザリスキー閉鎖バージョンで現在機能しているため、パーマvデット予想の解決に近づくこともできません。彼らが証明している代数的複雑さのステートメントの。

3. 目標がperm v detではなくBooleanである場合、GCTにはまだ公開されていない、主張されている追加のステップがあります。これらの未公開のステップの1つも失敗する可能性はありますが、見たことのない数学の詳細についてコメントすることは明らかに困難です...$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

4. [GCTに固有ではなく、一般に下限の潜在的な障害。] GCTは現在、不均一な下限を対象としています。つまり、ブール下限に対するGCTアプローチでも、を表示することを目的としています。しかしもちろん、がという現在の定理と一致しています。もちろん、技術的にはあり、perm v det予想がfalseである可能性もあります。P ≠ N P N P ⊆ P / P O L Y P = N $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$

ただし、GCTプログラムは現在存在しているため、最初に試してみたいように思われます。上記の（1）〜（3）のいずれかが実際に機能しないことが判明した場合、それはperm v det予想（したがって、と）がほとんど想像できないことを意味します現在考えているよりも難しい。（このステートメントは、次のアナロジーが不適切ではないにしてもおおざっぱに正しいとすでに考えている人からのものであることは注目に値します：は、有限単純グループの分類は、フェルマーのリトル定理です）。そして、たとえそうであっても、N P P ≠ N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$障害が発生する正確な方法を理解することは、さらなる進歩を遂げるためにおそらく重要です。

「100年」の記述は理論が一般的であると述べていると思いますが、表現理論と代数幾何学の深い理解と新しい結果が必要です。これは、進行が遅いかもしれません（数値理論と比較したいのですが、それがどれほど適切かはわかりません）。

また、代数幾何学の世界に変換すると精度が失われます。複雑度クラスのプロパティに対する下限を証明する代わりに（そのクラスのオブジェクトが入力として与えられたときに消失する多項式）、それを証明しています（前述の多項式の）そのザリスキ閉包に対して。2つを分離するために、そのクロージャーの境界（クロージャーでのみ発生し、元のセットで発生する多項式）を調べる必要があると考えられます。GCTプログラムの行列式対永続的なバリアントでは、これが当てはまる可能性が高いと考えられています。

最後に、個人的な経験から、GCTを深く理解するために必要なスキルセットは、CSの学部プログラムまたはマスタープログラムの通常の焦点とはかなり異なります。基本的に、前提条件を選択することは、GCTの研究を選択する自然なフォローアップです。