3SAT-Satisfiabilityの扱いやすさの条件

私が具体的に不思議に思っているのは、そのような問題が扱いやすいことを保証するために、3SAT式を満たす割り当ての割合に興味深い条件があるかどうかです。

たとえば、可能な割り当てのうちがブール式を満たす3SAT問題のクラスがあるとします。満足できる割り当てを効率的に見つけることができますか？何のため Pになる問題がありますか？ $\epsilon(n) 2^n$ $2^n$ $\epsilon$

メモの編集：混乱を解消するために、をに置き換えました。 $\epsilon$ $\epsilon(n)$

— ラフィ・ウィッテン
ソース

簡単な観察：

が最大で逆多項式的に小さい場合、一様に

回サンプリングすると、予想される多項式時間で解が得られます。したがって、

が

/ poly（n）の場合、この問題は簡単です（ZPPにあります）。

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— ロビンコタリ

1 / EPSは準多項式である場合も同様に、あなたは、それ自体が驚くことでしょうランダム化さquasipoly時間アルゴリズムを、持っている

— スレシュヴェンカト

はい。場合定数（または、ある）であり、あなたは、少なくともすることを約束しているすべての可能な割り当ての入力3CNFsを満足している、あなたはで、このような割り当てを見つけることができる決定論 polynomial-を時間。 $0< \epsilon <1$ $1/\textit{polylog}(n)$ $\epsilon 2^n$

アルゴリズムは難しくありません：

主張：述べられた約束のもとで、3節ごとにからの変数を含まなければならないという意味で、3CNFのすべての節にヒットする変数の定数サイズセットが存在しなければなりません。 $S$ $S$

主張の証明（スケッチ）：それ以外の場合、3CNFからの3節の十分に大きなファミリーが存在する必要があり、各変数は1回だけ発生します。しかし、このファミリは、十分に大きい場合、すでに満足できる割り当ての未満の部分を持っています。QED $\epsilon$

したがって、へのすべての可能な（定数）割り当てを実行できます。へのすべての固定割り当ての下で、が元の3CNFにヒットするという仮定により、3CNFは2CNFになります。これで、既知のポリタイム決定論的アルゴリズムを使用して、2CNF式の満足のいく割り当てを見つけることができます。全体として、多項式時間の上限があります。 $S$ $S$ $S$

2SATのアルゴリズムは、S。クックの有名な1971年の論文ですでに考えられています。

L. Trevisan：3CNFsためのアルゴリズムからである K-DNF用確定近似カウントでAノート でPROC。APPROX-RANDOM、Springer-Verlag、ページ417-426、2004年

3CNFについての結果を示す元の紙がある：E.ヒルシュ、多くの満足する割り当てを有する式ための高速決定論的アルゴリズム、IGPLのジャーナル、6（1）：59-71、1998

— イド・ザメレット
ソース

ϵ

$\epsilon$ が、決定論的なアルゴリズムが存在することを学ぶことは興味深いです。質問をより明確にするために編集しました。

— ラフィヴィッテン

ϵ = 1 / p o l y l o g (n)

$\epsilon = 1/polylog(n)$

Sをどのように構築しますか？

— ラドゥグリゴール

C_{1}

$C_1$

C_{2}

$C_2$

C_{1}

$C_1$