2つのCNFに同じ数のソリューションがあるかどうかを確認する複雑さ

2つのCNFがある場合、それらを同じにするために同じ数の割り当てがある場合は「はい」と答え、そうでない場合は「いいえ」と答えます。

にあるのは簡単です。これら2つのCNFの正確な数がわかっている場合は、それらをカンパレして「はい」または「いいえ」と答えるだけです。 $P^{\#P}$

この問題の複雑さは何ですか？

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

回答:

問題はcoNP -hardです。UNSATの問題をこの問題に簡単に還元できます。

より正確な特性評価は、問題がC ₌ P完全であることです。実際、クラスC ₌ Pの定義の1つは、この問題を多項式時間で多対1で還元できる問題のクラスであるということです（通常、この定義はGapP関数の観点から述べられています）。しかし、これではあまり意味がないので、このクラスを別の方法で定義します。

C ₌ Pを、次の問題に還元可能な多項式時間多対1の問題のクラスとします。ブール回路φと整数K（バイナリ）が与えられた場合、φの充足割り当ての数がKに等しいかどうかを決定します。。＃3SATの#P完全性を示す標準縮約により、クラスに影響を与えずにφを3CNF式に制限できます。クラスC ₌ Pには、UPとcoNPの両方を含むUSというクラスが含まれています。

この定義では、問題はC ₌ P-completeです。実際、C ₌ P硬度は、クラスC ₌ P（3CNF式を使用）の定義から簡単にわかります。

Cのメンバーシップを証明するには₌ Pを、私たちは与えられた二つのCNF式はかどうかを決定していると仮定φ ₁とφ _2が割り当てを満たすかどうかの同じ番号を持っています。一般性を失うことなく、2つの式の変数が同じ数、たとえばnであると仮定できます。ブール回路構成φかかるNの満足割り当ての数ように、入力として1ビットをφがに等しいC ₁ +（2 ^N - 、C ₂）、ここで、C ₁及びC ₂割り当てを満たす数であるφ ₁及びφ _2を、それぞれ、。その後の割り当て満たす数φが 2に等しく、^nは場合にのみ、C ₁ = C ₂。

— 伊藤剛
ソース

@Kaveh：詳しく説明してもらえますか？

— 伊藤剛

@Kaveh：いいえ、それは私たちが望んでいるものではありません。φ_1とφ_2が同じ数の満足できる割り当てを持っているかどうかを判断したいのですが、必ずしも同じ満足できる割り当てのセットではありません。

— 伊藤剛

@Tsuyoshi：

定義に基づいて、GIは

ですか？私は、少なくともGI考える

。

C_{=} P

$C_=P$

C_{=} P

$C_=P$

\subseteq F P^{C_{=} P}

$\subseteq FP^{C_=P}$

— マイクチェン

@マイク：興味深いコメントをありがとう。あなたはその結果について話していることをグラフ同型判定∈ SPP（アービンドとKurur 2006 dx.doi.org/10.1016/j.ic.2006.02.002）？もしそうなら、あなたは正しいです。SPPは、中に含まれる

グラフ同型∈ので、

。

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— 伊藤剛

@マイク：結果GraphIso∈SPPの前に、GraphIso∈LWPP：Köbler、SchöningandTorán1992であることがわかっていました。LWPP⊆のでWPP ⊆

、我々はGraphIso∈ことを言ってアービンドとKururによって、より強い結果を必要としなかった

。

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

C_{=} P

$\mathrm{C}_=\mathrm{P}$

— 伊藤剛

元の質問の小さなバリエーションを次に示します。ましょう、入力でoracleこと $O$ CNF場合に1を出力有する複数CNFよりソリューション。 $(f_1,f_2)$ $f_1$ $f_2$

この神託を考えると、我々は、ポリタイムマシンの構築与えられたCNFの解決策の数のコンピューティングの＃のP完全問題解決することができる。は指数関数的な数の解を持つことができることに注意してください。 $M$ $\varphi$ $\varphi$

それが解決策の既知数と式を生成し、バイナリ検索を使用し、最も多項式のクエリで尋ねることによって：として次の作品、それは式見つかっ持っていると同じように解の数。最後に見つかったソリューションの数を最終的に出力します。 $M$ $O$ $\varphi_i$ $\varphi$

これは、に複雑さ#Pがあることを示しています。 $M^O$

— MS Dousti
ソース

私の無知を許しますが、事前に指定された数の解を含む式をどのように生成しますか？

— ジョルジオカメラニ

Mは、（K + 1）ビットの数とする

、およびlet

指数であり

。変数

および

を使用して式を作成します。それぞれについて

、聞かせて

の」すべての次の部分式も

M = \sum_{i = 0}^{k} m_{i} 2^{i}

$M = \sum_{i=0}^k m_i 2^i$

S

$S$

i

$i$

m_{i} = 1

$m_i=1$

x_{0}, \dots, x_{k}

$x_0, \ldots, x_k$

y_{0}, \dots, y_{k}

$y_0, \ldots, y_k$

i \in S

$i \in S$

F_{i}

$F_i$

真の一つである

{x_{0}, \dots, x_{k - i}}

$\{x_0,\ldots,x_{k-i}\}$

のみが真です。」

は

を満たす割り当てがあり（変数

は自由です）、

場合、を満たす割り当て

{y_{0}, \dots, y_{k}}

$\{y_0, \ldots, y_k\}$

y_{i}

$y_i$

F_{i}

$F_i$

2^{i}

$2^i$

{x_{k - i + 1}, \dots, x_{k}}

$\{x_{k-i+1}, \ldots, x_k\}$

i \neq j

$i\ne j$

と

により互いに素です

F_{i}

$F_i$

F_{j}

$F_j$

y

$y$ 変数。式

している

割り当てを満たします。

\underset{i \in S}{⋁} F_{i}

$\bigvee_{i\in S} F_i$

M

$M$

— mikero

2つのCNF公式f_1とf_2が与えられた場合、f_1がf_2よりも満足のいく割り当てを持っているかどうかを決定するのはPP完全であることに注意してください。

— 伊藤剛

@mikero：ああ、馬鹿だ！想像していたはずです。あなたの説明をありがとう。

— ジョルジオカメラニ

1つだけのソリューションでSAT式を簡単に構築できるため、NPが少なくとも難しいようです。次に、Valiant-Vaziraniの定理により、すべてのSAT式からUnique-SAT問題のセット（式に一意の解があるかどうかを判断する）への確率的削減があり、1つの解だけでそれらのUnique-SAT問題と構築されたSAT式を比較します検討中のSAT式の充足可能性を判断できます。

— 選ぶ
ソース

正確に言うと、最初の文は「ランダム化された還元可能性の下」に言及する必要があります（2番目の文には言及していますが）。

— 伊藤剛