対数変数の整数線形計画法

番号場合、私はプログラミング線形その整数が多項式時間で解けるで読み取る変数のが固定され、すなわち、。変数の数が対数的に成長する場合、すなわち、サイズの所与の入力のための、それでも問題が多項式時間で解ける場合、またはこれが開放問題ですか？ $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— user3613886
ソース

入力のサイズを増やすために、ささいな真の制約を追加することはできませんか？

— joro

入力のサイズを増やす必要があるのはなぜですか？

— user3613886

入力を非常に大きくして変数の数が対数であり、質問に合うようにする。

— joro

しかし、質問では、変数は入力サイズと比較して対数であるとすでに仮定しています

— -user3613886

すべてのインスタンスを自分のものにすることを考えましたが、これにより入力が指数関数的に増加する可能性があります。

— joro

この質問には部分的にしか答えられません。

Lenstra（後のKannan、およびFrankとTardosによる改良）の結果は、変数のILP は時間（ILPのサイズの多項式の倍数）で解くことができると述べています。したがって、変数の数が場合、ILPはPになり。アルゴリズムが知られているかどうか、またはそのようなアルゴリズムがETHと矛盾するかどうかはわかりません。 $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

私はこの情報をダニエル・ロクスタノフの論文で見つけました。関連するリファレンスは次のとおりです。

HW Lenstra。固定数の変数を使用した整数プログラミング。オペレーションズリサーチの数学、8：538–548、1983。
R. Kannan。ミンコフスキーの凸体定理と整数計画法。オペレーションズリサーチの数学、12：415–440、1987
アンドラス・フランクとエヴァ・タルドス。組み合わせ最適化における同時ジオファンチン近似の適用。Combinatorica、7：49–65、1987

— マイケル・ランピス
ソース

2 ^ O（k）のアルゴリズムでさえ指数関数になるため、固定pにはO（k ^ p）アルゴリズムが必要だと思います。

— user3613886

申し訳ありませんが、質問とは異なる表記を使用しました。

Iは、変数の数を意味し、

ので、入力の大きさである

場合、アルゴリズムは多項式時間であろう

。

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— マイケルランピス

しかし、バイナリ変数しか取得していないと仮定すると、ブルートフォース

ではないでしょうか？

2^{k}

$2^k$

— user3613886

@ user3613886、もちろん、しかし、それは別の問題/質問です。変数がバイナリであるという質問では約束されませんでした。

— DW

入力のサイズを増やすために、ささいな真の制約を追加することはできませんか？

— joro