「大規模な」目撃者による自然なNP完全問題

28

cstheory「NPは線形サイズの目撃者に制限されますか？」に関する質問では、クラスNPについて線形サイズの証人に制限されますが、 $O(n)$

そこにある自然なサイズの中（はい）の場合NP完全問題よりもサイズが大きいの証人を必要と？ $n$ $n$

明らかに、次のような人為的な問題を作成できます。

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

G＆Jをざっと見てみると、すべての自然なNPCの問題にはよりも小さな（厳密に）目撃者がいるようです。 $n$

それには「理由/説明」がありますか？

cc.complexity-theory np proof-complexity

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

1

多くの問題には、グラフの同型やハミルトニアンパスのような、目撃サイズあります。ポリログ要因を除外したいですか、それとも答えとしてカウントされますか？

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— ジョシュアグロチョフ14年

12

実際、グラフ同型とハミルトニアンパスの監視サイズは、入力で準線形と見なすことができます（入力がグラフの隣接行列である場合）。

n \times n

$n \times n$

— ライアンウィリアムズ

1

ああ、そう...

— ジョシュアグロチョウ14年

1

@MarzioDeBiasi 自然の NP完全問題を定義するには、小さな目撃者の観察を使用する必要があると思います。

— モハマッドアルトルコ

1

@MarzioDeBiasi-満足できる割り当てのリストで十分であることに同意しますが、問題のより短い目撃者がいないことを証明できますか？（必要な割り当てを表す簡潔な方法かもしれません）。

— RB 14年

10

密なグラフ（別名クロマチックインデックス）のエッジカラーリング数はどうですか？頂点グラフの隣接行列（ビット入力）が与えられますが、カラーリングを説明する自然な証人のサイズはです。もちろん、Vizingの定理のクラス1グラフのより短い証明があるかもしれません。 $n$ $n^2$ $n^2\log n$

関連する可能性があるこの質問も参照してください

— アンドレアス・ビョルクルンド
ソース

2

それは良い例のようです！ただ注意してください：3次グラフでも問題はNP完全です。その場合、サイズ証人がいます隣接行列表現を使用する場合、より小さいビット（各エッジごとに2ビット）で十分であり、キュービックグラフに使用する合理的なエンコーディングに関係なく、インスタンスサイズより小さいと思われます。

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— マルツィオデビアシ14年

8

私は、長い目撃者を必要とする一見非常に自然なNP完全問題に出くわしました。整数およびでパラメーター化された問題は次のとおりです。 $C$ $D$

入力： AワンテープTM質問：いくつかありように、よりなる長さのいくつかの入力にステップ？ $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

問題の補足を述べるのが簡単な場合があります。特定の1テープTMが時間で実行されます。すべての、サイズすべての入力で最大ステップを作成しますか？ $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

完全な結果はここに表示されます。基本的には、我々は、時間内の1つのテープTMを実行するかどうかを確認したい場合が示される、我々だけで囲まれた長さの入力にこれを確認する必要がありここで、数あります入力TMの状態のしたがって、証人は、時間の制限に違反する長さの入力になります。これらの問題は、すべてのおよびについてNP完全であることもリファレンスに示されています。 $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

目撃者が実行時間に違反する入力である場合、一般的に長さはでなければなりません。また、入力の長さはです。 $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— デビッドG
ソース

3

ありがとう！しかし、正直に言うと、私は問題（私はそれが正式な概念ではありません知っている）より「自然」を見つける：「式を考えると、それは少なくとも持っているかどうかを判断を満たす割り当て」:-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— マルツィオデビアシ14年

わかります：）。一方、に関する問題には、問題の証人の長さがありますが、TMの問題には、証明の証人の長さがあります。さらに、証人の長さは意図的に問題に組み込まれていません。

φ

$\varphi$

— デビッドG 14年

7

以下に例を示しますが、これは自然な問題のようです。

インスタンス：正の整数および、すべて上から区切られています。 $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

質問：次数列色付きグラフはありますか？ $k$ $d_1,\ldots,d_n$

ここでは、入力はビットで記述できますが、ミラーリング監視にはビットが必要な場合があります。 $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

注：この特定の問題が実際にNP完全であるという言及はありません。しかし、色度の要件は、他のNP完全条件で置き換えることができます。この条件ではない場合でも、問題は何らかの条件でNP完全になる可能性があります。 $k$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

私にとって、この問題は、P = NPでない限り、NP完全であるという誤った種類の構造を持っています。各次数シーケンスによって定義されるグラフのクラスは非常に大きくなる可能性があり、それらの多くは些細な理由で色の要素を持つ場合があります。

n

$n$

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamon確かに、この問題の複雑さや、色度の代わりに適切な条件を選択することでNP完全にできるかどうかはわかりません。一方、すべてのポリタイムのチェック可能なプロパティ、次の問題がPにある場合、私は驚くでしょう：与えられた次数シーケンスを持つグラフがあり、プロパティもありますか？

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— アンドラスファラゴ

次数シーケンス+プロパティが常にPである可能性は低いようですが、おそらくこれらのいくつかはNP中間ステータスの候補ですか？

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamonはい、そのうちのいくつかはNPIステータスを持っていると非常によく想像できます。

— アンドラスファラゴ

6

これはばかげた「理由/説明」かもしれませんが、多くのNP完全問題では、解決策は入力のサブセットです（ナップサック、頂点カバー、クリーク、支配セット、独立セット、最大カット、サブセット合計、... ）または入力のサブセット（ハミルトニアンパス、巡回セールスマン、SAT、グラフ同型、グラフ彩色など）への順列または割り当て。

それ以上のことを読み込もうとするか、もっと空想的な理由を考え出すことはできますが、もっと深いことが起こっているかどうかはわかりません。

— us
ソース

これは確かに素晴らしい「最初のアイデア」だと思います。問題を明確に分類できない場合があります。たとえば、SATはサブセットの問題（「真の変数のサブセットを選択する」）である可能性もあります。または、HAMCYCLEは頂点の順列問題、またはエッジのサブセット問題ですか？（ところで、おそらく「割り当ての問題」は、実際には「パーティションの問題」である可能性があります。たとえば、3色と考えてください）。

— 十宝14年

3

最初の質問について、Allenderは（自己還元性による下限の増幅で）NTIME（n）の外にあることが知られている自然なNP完全問題はないと述べています。これは、既知のすべての自然NP完全セットが線形サイズの目撃者を持っていることを意味します。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

1

非決定的チューリングマシンの最長受け入れパスの長さは、ミラーリング監視のサイズに対応することに注意してください。

— モハマッドアルトルコ

1

MAXCLIQUE問題の次のバリアントを検討してください。

インスタンス：回路と入力ビットとに多項式有界サイズの。この回路は、頂点のグラフを暗黙的に決定し、各頂点はビット文字列で識別され、2つの頂点IDを連結して得られるビット文字列が受け入れられました。LETこのグラフを示します。には指数関数的に多くの頂点がありますが、多項式サイズの記述によって決定されることに注意してください。 $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

質問：んサイズのクリーク含む、固定された定数ですか？ $G(C)$ $n^k$ $k$

ノート：

問題はNP完全です。の封じ込めは明らかです。完全回路のみ各IDが最大である、対頂点受け入れる場合に観察することによって証明することができる、次いで、任意とすることができる -vertexグラフに加え、多くの単離された頂点。（このような頂点グラフはすべて、でエンコードできます。これは、がで多項式サイズを持つことが許可されているため、でも同様です。）次に、頂点でサイズのクリークがありますかグラフ？これは、一般的なに対してNP完全であることが知られています。という問題 $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ $N$ $N$ arbitrary意的ではなく、に制限され、適切なパディングによって削除できます。 $N=2n^k$
元の問題の自然な証人は、サイズのクリークであり、長い文字列（各頂点のビット文字列で記述できます。は非常に大きな定数になる可能性があるため、ミラーリング監視は線形よりもはるかに長くなる可能性があることに注意してください。（入力サイズがではなくの記述である場合でも、は無関係に選択できるため、この監視はさらに長くなる可能性があります。） $n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
この問題はMAXCLIQUEの変形であるため、自然と見なすことができます。
Allenderが「自然なNP完全問題は外側にあることは知られていない」（自己還元性による下限の増幅、セクション7を参照書いたとき、彼はより狭い自然の概念を念頭に置いていたかもしれません。たとえば、自然は、人々が独立した実践的な動機に基づいて本当に解決したいものに絞り込むことができます。問題が対角化によって構築されていない場合は、十分ではありません。 $NTIME(n)$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

NPの完全性を確立するために、この問題に対するHalf-Cliqueの削減に従うかどうかはわかりません。Half-Cliqueの頂点のインスタンスが与えられた、どの回路にマッピングされますか？

n

$n$

— アンドラスサラモン

AndrásSalamonレッツ@である -vertexグラフ、ハーフクリークの入力グラフです。次に、は、場合任意のノードペアを受け入れる回路（2進数として）、および、それ以外の場合、は拒否します。（このは、多項式サイズの回路として実装できます。）には、最初のノードにが含まれ、さらに追加の孤立ノードが含まれます。グラフは、が半クリークであるときに正確にサイズクリークを持ちます。

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$

— アンドラスファラ