ランダムなオラクルRの場合、BPPはP ^ Rの計算可能な言語のセットと同等ですか？

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まあ、タイトルはほとんどすべてを言っています。上記の興味深い質問は、私のブログのコメンターであるジェイによって尋ねられました（こちらとこちらをご覧ください）。答えはイエスであり、比較的簡単な証拠があると推測していますが、それを手っ取り早く見ることができませんでした。で言語場合（非常に大まかに、しかし、一つは、それを表示するように試みることができるでなかったそれが持つ無限のアルゴリズムの相互情報持っている必要があり、それは計算ではないでしょう、その場合には、また、ノートをその一方向は些細なことです：計算可能な言語には確かにが含まれています。） $P^R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $BPP$

ほとんどすべてのに対してにある（およびに等しいことがよく知られている）言語で構成されるクラスAlmostPについては聞いていないことに注意してください。この質問では、まずを修正し、次に計算可能な言語のセットを調べます。一方、固定されたランダムなオラクルでさえ言語が計算可能であれば、実際にはその言語はなければならないことを示すことができます。 $P^R$ $R$ $BPP$ $R$ $P^R$ $P^R$ $R$ $AlmostP$

密接に関連する質問は、ランダムオラクル確率1で、かどうかである、我々は持っています $R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

その場合、次の興味深い結果が得られます場合、ランダムなオラクルに対して確率1で、オラクル分離を目撃する唯一の言語は計算不可能な言語です。 $P=NP$ $R$ $P^R \ne NP^R$

computability oracles random-oracles

— スコットアーロンソン
ソース

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：エリック・アレンダーと彼の共著者で数関連の論文があるランダムな文字列の計算能力の制限、資源囲まれたケース：ランダム文字列のセットに削減

— Kaveh

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はい。

最初に、自分でこれを理解するのに1分かかりましたので、あなたの質問との違いを形式化します。それは量指定子の順序です。 $\mathsf{AlmostP}$ 、およびあなたがほのめかす結果は $\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ 。私が正しく理解している場合ならば、あなたは求めている $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ 。 $Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

検討する

。 $p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

結合組合によって、によって上部境界される。（後者の合計は数えられることに注意してください。）0-1の法則により有限に変更しても関連するステートメントはすべて変わらないので適用されます-この合計の個々の確率は0または1です。あなたの質問への答えは、その後、何もありません、その一部がなければならないとなるよう $p$ $\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$ $R$ $p=1$ $L \in \mathsf{COMP}$ 。しかし、これは、という事実と矛盾します。 $Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$ $\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

更新2014年10月10日：としては、同じ引数が適用される、エミルJeřábekによってコメントで指摘対我々はまた、その知っているので、。 $\mathsf{AM}$ $\mathsf{NP}^R$ $\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

また、（または）を含む可算クラスであること以外は、について何も使用しなかったことを指摘しています。OQで「興味深い結論は、」実際に適用されますので、任意の言語の可算クラスが含ま次の場合、「唯一」の言語は、証人のOracle分離することを外のある $\mathsf{COMP}$ $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathcal{C}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$ $\mathcal{C}$ 。しかし、後者のステートメントは、私にとってやや誤解を招くように感じます（であれば、と考えることができます。 $L_0$ 、そのことにより、「ショー」何実現しない、よく知られている定理に反する）。むしろ、それを象徴的に書き出すことで、以下を示しました。 $\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$ $\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

もし、次いで $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ 。 $\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

決定的に、確率1と同じものではないことに留意されたいすべての 、及びその全測定セットの引数を満たすに依存し得る。だから我々は、変更しようとした場合にほとんど削除しで、指標の0セット、それをこの文を満たします。 $R$ $R$ $Pr_R$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C} \cup \{L_0\}$ $R$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

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同じ議論がAM vs NP ^ Rに適用されます。また、計算可能性は実際には重要ではなく、証明で使用される計算可能言語の唯一の特性は、数え切れないほど多くあることです。

— エミールJeřábekはモニカサポート

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求めるものとほぼPの間の量指定子の順序は異なりますが、それらが同等であることを示すのはそれほど難しくありません。まず、固定Lの場合、L \ in P ^ OがOの有限の初期セグメントに依存しないかどうかの問題です。L\ in P ^ Rが0または1である確率は、 Pの結果、BPPにない各計算可能なLの答えは0です。一方、BPPのL \ inの場合、確率は1です。したがって、BPPにはないがP ^ Rにある計算可能なLが存在する確率は0です。BPPにはP ^にない言語がある確率も同様です。 R、

— ラッセル・インパリアッツォ
ソース