このTQBFのバリエーションはまだPSPACEに完全ですか？

次のような定量化されたブール式が

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

常にtrueと評価されるのは、古典的なPSPACE完全問題です。これは、交互に動く2人のプレーヤー間のゲームと見なすことができます。最初のプレーヤーが奇数の変数の真理値を決定し、2番目のプレーヤーが偶数の変数の真理値を決定します。最初のプレーヤーは$\varphi$偽にしようとし、2番目のプレーヤーはそれを真にしようとします。誰が勝利戦略を持っているかを決定することはPSPACEに完全です。

私は2人のプレーヤーで同様の問題を考えています。1人はブール式$\varphi$真にしようとし、もう一人は偽にしようとしています。違いは、移動時にプレイヤーが変数とその真理値を選択できることです（たとえば、最初の移動として、プレイヤー1は$x_8$をtrue に設定し、次の移動ではプレイヤー2が$x_3$をfalse に設定することを決定します）。これは、プレーヤーが$x_1 , \ldots , x_n$順序でゲームをプレイする代わりに、どの変数（真理値がまだ割り当てられていない変数）に真理値を割り当てるかを決定できることを意味します。

この問題には 、n個の変数にブール式$\varphi$が与えられ、プレーヤー1（偽にしようとする）またはプレーヤー2（trueにしようとする）に勝利戦略があるかどうかを決定します。ゲームツリーの深さは線形であるため、この問題は明らかにPSPACEに残っています。$n$

PSPACEは完全なままですか？

これは無秩序制約充足ゲームであり、PSPACE完全であり、最近になってPSPACE完全であることが証明されました。証明は次の場所にあります。

Lauri Ahlroth and Pekka Orponen、Unordered Constraint Satisfaction Games。コンピュータサイエンスボリューム7464、2012、pp 64-75の講義ノート。

抽象：ブール制約のシステムでの2プレーヤー制約充足ゲームを検討します。ブール制約では、プレーヤーが交互に使用可能な変数の1つを選択してtrueまたはfalseに設定し、最大化（プレーヤーI）または最小化（プレーヤー） II）満たされた制約の数。標準のQBFタイプの変数割り当てゲームとは異なり、変数が再生される順序はありません。これにより、ゲームのセットアップがより自然になりますが、制御がより難しくなります。制約がパリティ関数または制約のアリティと比較して小さいしきい値を持つしきい値関数である場合、プレーヤーIの多項式時間、定数因子近似戦略を提供します。また、Player Iがすべての制約を満たすことができるかどうかを判断する問題は、この順序付けられていない設定でもPSPACE完全であることを証明しています。

コンテンツから：

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... 定理4：ブール式のGBF充足可能性を決定する問題はPSPACE完全です。

編集：ダニエル・グリアーズは、結果が1970年代にシェーファーによって解決されたことを発見しました。参考のためにこのページの彼の答えを参照してください（そしてそれを賛成してください:-)。シェーファーは、正のCNF式（つまり、否定変数が発生しない連言標準形の命題式）に制限されていても、各接続に最大11個の変数がある場合でも、ゲームはPSPACE完全であることを証明しました。

この問題は、70年代に、Thomas Schaeferによって 有限2人完全情報ゲームに基づく決定問題の複雑さでも解決されたことにも注意する価値があります。実際、彼は、正のCNF式に制限されている場合でも言語がPSPACE完全なままであるという点で、わずかに強い結果を証明しています。

このゲームは5-CNFに対してPSPACEに完全であるが、2-CNFには線形時間アルゴリズムがあることを証明しました。以前の最良の結果は、AhlrothとOrponenの6-CNFでした。

会議論文はISAAC 2018で見つけることができます。

更新：2019年11月16日

このゲームは、3-CNFに対するいくつかの制限の下で、3-CNFにとって扱いやすいことを証明しました。また、このゲームは3-CNFに制限がなくても扱いやすいと根本的に推測しました。初期バージョンはECCCにあります。