ランダムスワップによって望ましい順列を生成する確率

次の問題に興味があります。私たちは、入力として「目標順列」を与えられている、指標のと同様に、順序付きリストは、。次に、リストから始まる（すなわち、恒等置換）各時間ステップで、我々は、スワップにおける要素 $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ 独立した確率を持つ要素、。してみましょう確率も出力として生成されます。 $(i_t+1)^{st}$ $1/2$ $p$ $\sigma$

次の（いずれか）を知りたい：

あるかあるかを決定していますか- 完全な問題ですか？ $p>0$ $NP$
計算され正確 -completeを？ $p$ $\#P$
乗法定数内でを近似することについて、私たちは何と言えますか？このためのPTASはありますか？ $p$

スワップが隣接する要素である必要がないバリアントも興味深いものです。

この問題をエッジのばらばらのパス（または整数値のマルチコモディティフロー）に減らすことは難しくありません。私が知らないのは、反対方向への減少です。

更新： OK、Garey＆Johnsonをチェックすると、その問題[MS6]（ "順列生成"）は次のようになります。入力標的順列として与え、互いにサブセットと、かどうかを決定する生成物として発現可能である、各場合すべての指標に自明に作用していませんで。 Garey、Johnson、Miller、およびPapadimitriou（残念ながらペイウォールの後ろ）は、この問題がことを証明しています $\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ ハード。 $NP$

スワップが隣接している必要がない場合、これは、あるかどうかもハードであるかどうかを決定することを意味すると考えています。それぞれに：減少は、単にこれですの完全な分別ネットワークに対応することために、私たちは「候補スワップ」のセットを提供します並べ替えが可能（すなわち、任意には、しばらく他のものすべてにささいに作用する）。次いで、のように表現できるであろう、それはこれらのスワップの積として到達可能だ場合にのみ、。 $p>0$ $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

これはまだ「元の」バージョンを開いたままにします（スワップは隣接する要素のみです）。（任意スワップ付き）カウントバージョンについては、それは当然のことながら、強く問題があるべきことを示唆している -completeを。いずれの場合でも、ない限り、PTASは除外されます。 $\#P$ $P=NP$

— スコットアーロンソン
ソース

質問がよくわかりません。確率はどこから来るのですか？確率1/2でスワップし、確率1/2でスワップしないということですか？

— arnab 2014

@arnabはい。スコット、それであなたはそれを証明しました

、それでもNP困難です。Miの直感は、「元の」問題の方が簡単なはずだということですが、最初に紙の削減を試してみます。

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

— 2014

p> 0かどうかは多項式時間で決めることができると思います。

問題の問題は、エッジ分離パス問題として簡単にキャストできます。この場合、基礎となるグラフは、それぞれがn個の頂点を含むm +1層と、可能な隣接スワップを表すm次数-4の頂点で構成される平面グラフです。このグラフの平面性は、隣接するスワップのみを許可するという事実に基づいていることに注意してください。

私が間違っていないのであれば、これは岡村とシーモア[OS81]によって解決されたエッジのばらばらのパスの問題の特別なケースに該当します。さらに、WagnerとWeihe [WW95]は、この場合の線形時間アルゴリズムを提供しています。

Goemansの講義ノート[Goe12]も参照してください。これは、Okamura–Seymourの定理とWagner–Weiheアルゴリズムのすばらしい説明を提供しています。

参考文献

[Goe12]ミシェルX.ゴーマン。 講義ノート、18.438高度な組み合わせ最適化、講義23。マサチューセッツ工科大学、2012年春。http ：//math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81]岡村春子とポール・D・シーモア。平面グラフの複数商品フロー。 組合せ論、シリーズBのジャーナル、31（1）：75-81、8月1981 http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea WagnerとKarsten Weihe。平面グラフにおけるエッジの素な経路の線形時間アルゴリズム。 Combinatorica、15（1）：135-150、1995年3月 http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— 伊藤剛
ソース