い

我々はそれを知っています階層は（崩壊しないすべてのために）？ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

のZooエントリに $\mathsf{TC^0}$ は、深さ2と3の分離のみが記載されています。

また、階層が崩壊しないという事実の標準参照はありますか？ $\mathsf{AC^0_d}$

— カベ
ソース

関連する質問は、

はいくつの異なる関数があるかということです。これらの量の合理的な下限はあなたの質問に答えるでしょう。また、Hastadのスイッチング補題のきつい証拠は、おそらくあなたの2番目の質問に答えるでしょう。

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$

— MCH

2番目の質問については、SipserのSTOC '83論文「Borel Sets and Circuit Complexity」で最初に証明されたと思います。ただし、これはスーパー多項式の下限のみを提供します。最初の指数関数的な下限はYaoによって与えられ、後にHåstadによって改善されました。

— ロビンコタリ

@ MCH、

と書くつもりですか？または、

wrt

削減における問題の等価クラスの数を意味しますか？

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$

— カベ

つまり、サイズが

回路のクラスは、いくつの異なる関数を表すことができるのかということです。（回路の数は非常に簡単に推定できますが、一部の回路が同じ関数を計算する可能性があることに注意する必要があります。）この量が

とともに増加することを示したら、完了です。

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@ディルワース、不均一。カウントはうまくいかないようです。さもないと、以下で述べたように、開いている

から

を分離できます。

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— カベ

回答:

深さ2のしきい値回路（無制限の重み）の適切な下限（たとえば、言語のスーパー多項式下限）はありません。マジョリティゲートから構築された深さ3の回路、つまりはこのクラスが含まれているため、このクラスの下限もわかりません。 $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— クリストファー・アーンスフェルト・ハンセン
ソース

これは私の質問に答えます。クリストファーありがとう。

— カベ

上記のコメントで書いたように、たとえNEXPの問題がTC

外側にあることが知られていないとしても

_{2}^{0}

$^0_2$ も、カウント引数の下限によって不均一なTC

階層が適切である可能性はまだありませんか？

^{0}

$^0$

— ディルワース

また、これがTCの既知の指数下限とどのように一致しているかをお問い合わせください

複雑さの動物園で報告されているように、

および深さ2のしきい値回路からの深さ3の分離と、ください。何か不足していますか？

_{2}^{0}

$_2^0$

— ディルワース

@Dilworth、それはしきい値ではなくマジョリティを使用して定義されているからだと思います。

— -Kaveh

うーん、正確にどういう意味ですか？これは、クリストファーが作成した「無制限の重み」に関するメモに関連していますか？

— ディルワース

私が間違いを犯していない場合、 $\mathsf{TC^0_d}$ 階層が崩壊しないは、少なくともをから分離するのと同じくらい難しいようです： $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

ブール式評価問題を示しましょう。 $BFE$ は、削減のもとでに対して完全です。 $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

マニンドラ・アグラワル、エリック・アレンダー、およびスティーブン・ルディックによって、「回路の複雑さの減少：アン同型定理とギャップ定理」、1999年、のために完了した下削減。 $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

と仮定し。次いでいくつかのために。したがって、。これ手段その。 $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

したがって、すべてのについて $d$

意味及び。 $\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— カベ
ソース