制限付きモノトーン3CNF数式：満足のいく代入を数える（を法とを法とする）

次の両方の追加制限があるMonotone 3CNF式を考えます。

• すべての変数は正確に句に現れます。$2$
• 句が与えられた場合、それらは最大変数を共有します。$2$$1$

このような数式の満足のいく割り当てを数えることがどれほど難しいか知りたいのですが。

更新2013年6月4日12:55

また、満足のいく割り当ての数のパリティを決定することがどれほど難しいかについても知りたいです。

アップデート11/04/2013 22:40

上記の制限に加えて、次の両方の制限も導入するとどうなるでしょうか。

• 数式は平面です。
• 式は二部式です。

2013年4月16日更新23:00

それぞれの満足する割り当ては、正規グラフのエッジカバーに対応します。広範囲にわたる調査の結果、エッジカバーの数え上げで見つけた唯一の関連論文は、Yuvalの回答ですでに言及されている（3番目の）論文です。そのような論文の冒頭で、著者らは「グラフのすべてのエッジカバーのサンプリング（および関連するカウントの問題）の研究を開始します」と述べています。この問題があまり注目されていないことに非常に驚いています（いくつかのグラフクラスについて、広く研究され、よりよく理解されている頂点カバーのカウントと比較して）。エッジカバーのカウントが -hardであるかどうかはわかりません。エッジカバーの数のパリティの決定がかどうかはわかりません＃P ⊕ $3$$\#P$$\oplus P$-ハード、どちらか。

更新2013年6月6日07:38

エッジカバーの数のパリティを決定するのは -hardです。以下の回答を確認してください。$\oplus P$

どのグラフでも、頂点カバーの数のパリティは、エッジカバーの数のパリティと同じです。

理由を確認するには、この回答を確認し、同等性を確認してください パリティに等しい、今度はあるがのパリティに等しい、これはエッジカバーの数です。Δ | V | = O | V | − E | V | O | V | + E | V $|C|$$\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$$O_{|V|} + E_{|V|}$

頂点カバーの数のパリティの計算は P-hardです。したがって、エッジカバーの数のパリティの計算も P-hardです。$\oplus$$\oplus$

少なくとも質問の後半は解決されました。

あなたの問題はおそらく＃P-completeですが、文学ではそれを見つけることができませんでした。

問題を説明する別の方法は、「＃3-regular-edge-cover」です。数式を指定して、各句が頂点に対応し、各変数がエッジに対応するグラフを作成します。式は3CNFであるため、グラフは3正規（または定義によっては最大次数3）です。さらに、グラフは単純です。満足のいく割り当ては、エッジカバーと同じです。

ここにいくつかの関連する問題があります：

• ＃1-Ex3MonoSatは＃P-completeです。これはあなたの問題と同じです。満足できる解決策だけが各節の正確に1つの変数を満足する必要があります。
• 3規則平面グラフの頂点カバーの数を数えるのは＃P-completeです。
• ＃3-regular-edge coverのFPRASがあります。これは、著者が問題は難しいと信じていることを示唆しています。