ハト穴問題のSATエンコードの対称性を減らすために、正規の順序をどのように使用しますか？

「N個のオブジェクトから1個を選択するための効率的なCNFエンコーディング」という論文では、制約をエンコードするための「司令官変数」手法を紹介し、鳩の巣問題について説明しています。

私のエラーは低レベルの理解に存在する可能性があるため、質問をする前に、知っていると思うことを宣言させてください。

ましょう $m$ 及び $n$ ハトと穴の数です。ナイーブエンコーディングでは、命題変数 $X_{i,j}$ を使用します。これは、 $i'th$ ハトを $j'th$ ホールに入れる場合に当てはまります。句 $ExactlyOne(X_{1,1}, X_{1,2}, ..., X_{1,n})$ ハト1が1つの穴を占有するように強制します。他のハトにも同じ条項が追加されています。句 $AtMostOne(X_{1,1}, X_{2,1}, ..., X_{m,1})$ 適用しない1個以下鳩穴1を占有します。同じ句が残りの穴に追加されます。

ハトが穴よりも多い場合（m> n）、問題は解決できません（人間には明らかです）が、SATソルバーはこの事実を「認識」しません。それはハト配置する方法を見つけることができない場合には $1,2,3,..,m$ それは鳩と試み検索します $2,1,3,...,m$ 。ハトの順序が無関係であることを理解していません。この論文は、とりわけ、この対称性を呼んでいます。

インスタンス $m=n+1$ は、SATソルバーの不満を検出する能力の精力的なテストとして使用されます。

この論文では、ハトに秩序を強制することで対称性を破ることを提案しています。ピジョンは、ハト穴の前の穴に配置する必要があります（つまり、ホールのハトは、ホールハトの数よりも小さい必要があります）。次に、「スペースの制限により、正規順序エンコーディングを詳細に明示的に説明していませんが、生成される句の数は」とがっかりします。 $i$ $i+1$ $j$ $j+1$ $O(n*log(n))$

だから私の質問は、これらの結果を得るために彼らは何をしたのですか？

私は、変数扱いたいは、どの鳩が1番ホールに入ったかの選択を数値的に識別するビットのストリングとして続きます。この後、コンパレータを使用して、ペーパーの提案を適用します。ただし、私の単純なコンパレータの構成では、（ますます醜いサイズの）ビットごとに1つのm句が必要です。助けて！:) $\{X_{1,1}, X_{2,1}, ..., X_{m,1}\}$ $n-1$

cc.complexity-theory sat proof-complexity

— アンドリューラムールー
ソース

ましょハトの数であり、および孔の数です。番目の鳩が番目の穴に入れられた場合、命題変数 ... がバイナリ表現をエンコードするとします。（例、鳩1は穴10内に配置された場合、、バイナリ1001だからである =真、 $m$ $n$ $B_{i,0}$ $B_{i,log(n)}$ $j-1$ $i$ $j$ $j - 1 = 9$ $B_{1,3}$ $B_{1,2}$ =偽、 =偽及び =真）。 $B_{1,1}$ $B_{1,0}$

変数によってエンコードされた穴がの穴よりも小さいことを要求することにより、穴内のハトの特定の順序を強制します。エンコーディングは期待どおりに比較されます。 $B_{i}$ $B_{i+1}$

< OR = AND < $B_{i,log(n)}$ $B_{i+1,log(n)}$

$B_{i,log(n)}$ $B_{i+1,log(n)}$ $B_{i,log(n)-1}$ OR = AND = AND $B_{i+1,log(n)-1}$

$B_{i,log(n)}$ $B_{i+1,log(n)}$ $B_{i,log(n)-1}$ $B_{i+1,log(n)-1}$ < OR ... $B_{i,log(n)-2}$ $B_{i+1,log(n)-2}$

...右側の次のビットが次のハトのビットよりも小さい限り、最上位ビットを同等にできるというパターンに従います。が存在するであろうコンパレータ当たり接続詞および期待与え、コンパレータの追加条項。 $O(log(n))$ $O(m)$ $O(m * log(n))$

変数の値がで暗示されている必要があり値。各ビットは、設定される変数の特定のセットのいずれか1つによって暗示されます。例：とすると、次のようになります。 $B$ $X_{i,j}$ $B_{i,*}$ $X_{i,j}$ $n = 16$

$ExactlyOne(X_{1,9}, X_{1,10}, X_{1,11}, X_{1,12}, X_{1,13}, X_{1,14}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,3}})$

その力鳩1穴9-16のいずれかに配置される場合、真。それ以外の場合は句を満たすために偽に設定されています。これらの句は、残りのビットを設定します。 $B_{1,3}$ $B_{1,3}$ $B_{i}$

$ExactlyOne(X_{1,5}, X_{1,6}, X_{1,7}, X_{1,8}, X_{1,13}, X_{1,14}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,2}})$ $ExactlyOne(X_{1,3}, X_{1,4}, X_{1,7}, X_{1,8}, X_{1,11}, X_{1,12}, X_{1,15}, X_{1,16}, \overline{B_{1,1}})$ $ExactlyOne(X_{1,2}, X_{1,4}, X_{1,6}, X_{1,8}, X_{1,10}, X_{1,12}, X_{1,14}, X_{1,16}, \overline{B_{1,0}})$

が存在することになる各鳩のために、これらの句。ハトがため、句が追加されます。 $log(n)$ $m$ $m * log(n)$

— カイル・ジョーンズ
ソース

お返事をありがとうございます！しかし、バイナリエンコーディング自体を強制するために追加の句が必要ではありませんか？穴10内に配置されて鳩1を使用して例を用いて、私は節がコンペに必要とされると思う

。これは、CNFの

句に拡張されます。そして

ごとに1つ必要であり、

X_{1, 10} \to B_{1, 3} \land \bar{B_{1, 2}} \land \bar{B_{1, 1}} \land B_{1, 0}

$X_{1,10} \to B_{1,3} \land \overline{B_{1,2}} \land \overline{B_{1,1}} \land B_{1,0}$

l o g (n)

$log(n)$

X_{i, j}

$X_{i,j}$

成長もう一度。

m * n

$m*n$

— Andrew Lamoureux 2013

これに対処するために回答を編集します。

— カイルジョーンズ

使い方

「圧縮」冗長にちょうど素晴らしいですステートメント「鳩がここに行けば、ビットはこのなければなりません」！この制約は彼らの論文の主題なので、あなたの解決策が省略されたものであることは間違いありません。カイルありがとう！

E x a c t l y O n e ()

$ExactlyOne()$

— Andrew Lamoureux 2013