証明

で話 Razborovことで、好奇心少し文が掲載されています。

FACTORINGが難しい場合、でフェルマーの小さな定理は証明できません $S_{2}^{1}$ 。

$S_{2}^{1}$ とは何ですか、なぜ現在の証明は $S_{2}^{1}$ ないのですか？

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— T ....
ソース

$S^1_2$ は有界算術の理論です。つまり、ペアノ算術の誘導のスキーマを厳しく制限することによって得られる弱い公理理論です。これは、Sam Bussの論文で定義された理論の1つです。その他の一般的な参考文献には、Hájekの第V章とPudlákの1次算術のメタ数学、Krajíčekの「有界演算、命題論理、および複雑性理論」、バスのハンドブックの第II章が含まれます。証明理論、およびクックとグエンの証明の複雑さの論理的基礎。

$S^1_2$

フェルマーリトル定理のすべての既知の証明は、指数サイズのオブジェクトを使用するか、または有界セットのサイズの正確なカウントに依存します（戸田の定理のため、多項式階層では、有界式では定義できません）。

$S^1_2$ $S^1_2$ $S^1_2$ $a$ $p$ $p$ $k$ $a^k\equiv1\pmod p$ 。

これがFLTの結果であることは事実ですが、実際には、FLTよりもはるかに弱いステートメントです。特に、このステートメントは、有界算術のサブシステムで証明可能であることが知られている弱いピジョンホール原理に基づいています（ただし、よりも強力です）。したがって、KrajíčekとPudlákの議論は、因数分解が容易でない限り、は弱い鳩の巣の原理を証明しないことを示しており、そのため、は、制限付き算術階層の別のレベル、たとえばから条件付きで分離されます。 $S^1_2$ $S^1_2$ $S^1_2$ $T^2_2$

対照的に、実際のFLTは完全な制限付き算術で証明できるようには見えませんが、これは暗号化とは関係ありません。私の論文のアーベル群と弱算術の二次残差でいくつかの関連する議論を見つけることができます。 $S_2=T_2$

— エミール・イェジャベク
ソース

こんにちはエミル：完全な回答ありがとうございます。もう一度お願いしてすみません。あなたは「フェルマーリトル定理のすべての既知の証明は指数サイズのオブジェクトを利用するか、またはそれらは有界セットのサイズの正確なカウントに依存します（これは多分式階層では、多分階層で、戸田のためにおそらく定義できません）定理）。" しかしFLTが約あるモジュロ及び指数オブジェクト自体は？

a^{k}

$a^{k}$

p

$p$

a^{k}

$a^{k}$

— T ....

そうですがフェルマーの小さな定理を公式化するためには本当に必要ありません。与えられた、、及びバイナリで、あなたは計算することができます繰り返し二乗によって多項式時間で、私は心配にこの多項式時間関数を使用して、FLTの製剤に言及した結果。

a^{k}

$a^k$

a

$a$

k

$k$

p

$p$

a^{k} mod p

$a^k\bmod p$

— EmilJeřábek2013年

階乗予想は、類似の製品は効率的に計算可能であってはならない、特に計算は、因数分解と同じくらい難しいので、これは役に立たないと思われます。積が多項式時間アルゴリズムによって計算可能であり、で形式化できたとしても、そのような指数関数的に長い積が被乗数の順列の下で不変であることを証明する方法はまだ明白ではないことに注意してください（これは、 Wikiプルーフで使用される主なプロパティ）。

m! mod n

$m!\bmod n$

n

$n$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— EmilJeřábek2013年

いいえ、それでは不十分です。可換性は、2つの項の積を入れ替えることができることを示すだけです。長い製品の場合は、誘導によって何らかの引数を設定する必要があります。これには、元の製品で使用されているモジュラー算術シーケンス（など）よりも複雑な構造の製品を含める必要があります。またはこのようなもの）。それがあなたの想像力を助けるなら、製品は有限に見えますが、算術の非標準モデルでは、インデックスセットは本当に無限です...

\prod_{i = 1}^{p - 1} {\begin{cases} i a & if (i a mod p) < k \\ 1 & otherwise \end{cases}

$\prod_{i=1}^{p-1}\begin{cases}ia&\text{if }(ia\bmod p)<k\\1&\text{otherwise}\end{cases}$

[1, p - 1]

$[1,p-1]$

— EmilJeřábekMar

...そして、それは整然としたシーケンスでさえありません（コピーが含まれています）。

Q

$\mathbb Q$

— EmilJeřábek2013年