シェーファーの定理と無制限の幅のCSP

シェーファーの二分法定理は、各CSP問題が、多項式時間で解けるのいずれかであるか、NP完全です。これは、たとえば、SATおよびHorn-SATを除く、幅が制限されたCSP問題にのみ適用されます。無制限の幅の一般的なCSPの問題は非常に難しい（計算不可能な場合もあります）ため、「自然」でNPにある問題に限定しましょう。$\{0,1\}$

幅に制限のないCSP問題がある場合、各、最大kの幅の句に対する問題の制限を調べることができます。シェーファーの定理が適用され、制限された問題はPまたはNP完全にあります。いくつかのkについて、k制限の問題がNP完全である場合、制限のない問題もNP完全です。すべてのkについて、k制限の問題がPにある場合、状況はそれほど明確ではありません。$k$$k$$k$$k$$k$$k$

シェーファーの二分法の定理は、すべての簡単なケースを解決する4つの（または）異なるアルゴリズムに依存しています。与えられたCSP問題に対して、制限の問題はアルゴリズムAによって常に解けると仮定します。アルゴリズムAを使用して制限のない問題も解決できる場合があります。または、アルゴリズムAが無制限の場合の多項式時間ではない可能性があり、問題の難易度については無知です。$k$

この種の問題は考慮されましたか？「無知な」スポットに到着する例はありますか？

「自然なブール型CSP」の場合、k制限付きバージョンがkごとにPにあると主張するにある場合、非制限バージョンもPにあるとます。以下で「自然ブールCSP」を定義します。

シェーファーの定理は、有限集合S上のブールCSPは、次の条件の少なくとも1つが満たされる場合、関係のはPにあり、いずれも満たされない場合はNP完全であると述べています。

1. Sのすべての関係（定数0を除く）は、そのすべての変数に1を割り当てることで満たされます。
2. Sのすべての関係（定数0を除く）は、そのすべての変数に0を割り当てることで満たされます。
3. Sのすべての関係は、2-CNF式と同等です。
4. Sのすべての関係は、ホーン節の式に相当します。
5. Sのすべての関係は、デュアルホーン節の式と同等です。（「二重ホーン節式」とは、各節に含まれる正のリテラルが最大1つであるCNF式を意味します。）
6. Sのすべての関係は、アフィン句の結合と同等です。

ここで、P≠NPと仮定し、Sが無限の場合を考えます。k制限付きバージョンがすべてのkについてPにある場合、シェーファーの定理により、Sのすべての有限サブセットは上記の6つの条件の少なくとも1つを満たします。これは、集合S全体が少なくとも1つを満たします。が6つの条件の少なくとも1つを満たします。これは、アリティの制限のないこのCSPもPにあるということですか？未だに。

Sが無限の場合、入力式の各句の指定方法を指定する必要があります。我々は、{0,1}からのいくつかの全射のマッピングが存在すると仮定する^*のSに関係のエンコーディングを指定し、Sは。ブールCSPは、両方のSとこのエンコード関数のます。

上記のケース3、4、5、および6のそれぞれでは、条件を満足する関係を表す自然な方法があります。ケース3の2-CNF式、ケース4のHorn-clause式などです。リレーションが（たとえば）2-CNF式と同等であっても、そのエンコードがそれと同等の2-CNF式に簡単にアクセスできることをアプリオリに保証するものではありません。

ブールCSPは、エンコード関数が次の条件を満たす場合に自然であると言います。

• 関係のエンコードとそのすべての変数への割り当てが与えられると、関係が満たされるかどうかは多項式時間で計算できます。（注：これにより、問題のCSPが常にNPにあることが保証されます。）
• 条件3、4、5、または6を満たす関係のエンコードが与えられた場合、上で指定されたその自然表現は多項式時間で計算できます。

次に、Sが上記の6つの条件の1つを満たし、Sのエンコードがこの「自然」条件を満たしている場合、対応するアルゴリズムを適用できることがわかります。最初に述べた主張は、P = NPの場合とP≠NPの場合の両方を考慮することで証明できます。