成功確率の高いグローバーアルゴリズムの最適性について

関数有界誤差量子クエリの複雑さは $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ 。今の質問は、我々は、量子アルゴリズムをしたい場合は確率で全ての入力のために成功するために何であるむしろ通常より。今観点から、適切な上限と下限は何でしょうか？ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

これは、その即時であるクエリは、Groverアルゴリズムを繰り返すことにより、このタスクに十分です。すなわち、反復の適切な数のために、慎重に実行する場合でも、私は思い出すものから、このような何かを達成することができ、ごく単純なグローバーのアルゴリズムなど、すべての最適ではないとのちょうど $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ 反復。それゆえ1はすべてのための改善を得ることができることを使用してさんを。一方、 $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ 非常に小さいの正しい答えになる。 $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

しかし、私は1つがの面で示すことができるか見て興味を持っての異なる範囲のための依存性上限と下限特に非常に小さいと言うですまたはための大きなです。 $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

（いくつかのコンテキストを提供するために、私が得ている一般的な現象は、量子クエリの複雑さのコンテキストにおける増幅です。）

— ムハンマドバイエルン
ソース

このペーパーでは、質問に対する回答を提供する必要があります。arxiv.org

— John Watrous

うーん、私はの場合のために、今少し混乱しています

。このペーパーarxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdfには、約

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

回の反復により、高確率の結果、つまり

得ることができます

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

@MohammadBavarian：解の数がわかっている場合（または一意の解がある場合）だけだと思います。

— Robin Kothari

完全を期すために、ここに答えがあります。

$Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

これは、Bounds for Small-Error and Zero-Error Quantum Algorithmsの後に続きます。

$f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

これは、量子アルゴリズムと対称関数の最小次数のイプシロン誤差多項式に関する注記に示されています。

— ロビン・コタリ
ソース