二乗和証明システム

最近、平方和と呼ばれる証明システムに関するarxivに関する記事をいくつか見ました。

誰かが二乗和証明とは何か、なぜそのような証明が重要/興味深いのかを説明できますか？

それらは他の代数的証明システムとどのように関係していますか？彼らはラセールに何らかの二重性がありますか？

GrigorievとVorobjovによってPositivstellensatz反論の名前で導入された基本的な二乗和証明システムは、多項式の方程式と不等式のセットを示すための「静的」証明システム です。K = 0 、H 1 ≥ 0 、... 、HのM ≥ 0 } 、F 1、... 、F 、K、H 1、...

$$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$$ 、で共通液持っていない$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$：の反論 Sは、多項式によって与えられる G iが及び電子Iは、Jよう - 1 = kのΣ I = 1 G I F I + Σ I ⊆ { 1 、... 、M } 、Σ jは E 2 、$\mathbb R^n$$S$$g_i$$e_{I,j}$ （Rの代わりに実際に閉じたフィールドで作業できます。）StengleのPositivstellensatzは、Sに反論があることを保証します。ここでの主な複雑さの尺度は程度です $$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$$ $\mathbb R$$S$に加算記号の下に表示される多項式の合計度の最大値であり、反論の、すなわち、G I F 、IおよびE 2 I 、J Π I ∈ I時間$(*)$$g_if_i$$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$。

$\phi$$S$$x_i^2-x_i$$x_i$$\phi$

SOSシステムの歴史と開発の詳細については、http：//arxiv.org/abs/1211.1958をご覧ください。

SOSは、行が形式の証明システムと見なすことができます$p(\vec{x}) \geq 0$ここで、$p(\vec{x})$ 変数の多項式です $\vec{x}$。

推論規則は次のとおりです。

1. $\over x^2-x \geq 0$
2. $\over x-x^2 \geq 0$
3. $\over p(\vec{x})^2\geq 0$
4. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
5. $p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
6. $p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ どこで $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

以前のシステムとの主な違いは、次のルールがあることです $p(\vec{x})^2\geq 0$。

半正定値プログラミングおよび近似アルゴリズムとの素晴らしいつながりがあります。

より多くのチェックアウトのためのアルバートAtserias BIRSワークショップでの最近の話を応用SAT解決の理論的基礎：

• アルバート・アセリアス、半代数的証明システムに関するミニチュートリアル（スライド）、2014