興味深いSUBSET-SUM問題

IはSUBSETSUM問題の以下の変異体を知っている：（。。らでElberfeld 2010）、NP完全、およびNEXP-complete （リンク）。 $\mathtt{UNARY\mbox{-}SUBSETSUM} \in \mathsf{L}$ $\mathtt{SUBSETSUM}$ $\mathtt{SUCCINCT\mbox{-}SUBSETSUM}$

最近、私はまたに走っ -complete （問題：シェーファーとUmans 2008年16ページ）。 $\Sigma_2^p$ $\mathtt{GENERALIZED\mbox{-}SUBSETSUM}$

SUBSETSUM問題の他の（重要ではない）興味深い変種を知っていますか？具体的には、 -又は -いくつかのための完全な問題。 $\Sigma_l^p$ $\Pi_l^p$ $l > 1$

いくつかの定義：

$\mathtt{UNARY\mbox{-}SUBSETSUM} = \{ 0^n \# 0^{i_1} \# \cdots\#0^{i_k} \mid \exists I \in \{1,\ldots,k\} \sum_{j \in I}i_j = n \}.$

および「sはバイナリであります番号。 $\mathtt{SUBSETSUM} = \{ S \# a_1 \# \cdots\# a_k \mid \exists I \in \{1,\ldots,k\} \sum_{j \in I}a_j = S \},$ $S$ $a_j$

およびは整数ベクトル、は整数、および $\mathtt{GENERALIZED\mbox{-}SUBSETSUM} = \{ u \# v \# t \mid (\exists x) (\forall y) [ux+vy \neq t] \},$ $u$ $v$ $t$ $x$ は、それぞれおよびと同じ長さのバイナリベクトルです。 $y$ $u$ $v$

— アブザー・ヤカリルマズ
ソース

私のお気に入りの1つは、TFNP（sciencedirect.com/science/article/pii/030439759190200L）にあるPIGEONHOLE-SUBSETSUM です。EQUALITY-SUBSETSUM（sciencedirect.com/science/article/pii/S0022000001917842）

— Marcos Villagra

@MarcosVillagra：コメントありがとうございます。PIGEONHOLE-SUBSETSUMは興味深く見えます。PIGEONHOLE-SUBSETSUMの決定バージョンを知っていますか？

— Abuzer Yakaryilmaz 2012

総和の上限によって問題は常に解を持つため、決定バージョンはありません。したがって、決定バージョンは簡単です。それの証明（常に解決策があること）は難しくありません、鳩の穴の原理の適用です。これは、Papadimitriou（cs.berkeley.edu/~christos/papers/On%20the%20Complexity.pdf）による優れたリファレンスです。

— Marcos Villagra

1つの大きなオープンな問題は、PIGEONHOLE-SUBSETSUMがPPPに対して完全であるかどうかを証明することです。

— Marcos Villagra 2012

@MarcosVillagra：コメントをありがとうございます。「PIGEONHOLE-SUBSETSUMの重要ではないが自然な意思決定問題のバージョンはありますか？」たとえば、整数分解の決定問題バージョンの1つは次のとおりです。1≤M≤Nの整数Nと整数Mが与えられた場合、Nは1 <d <Mの係数dを持ちます（en.wikipedia.org/ wiki / Integer_factorization）？

— Abuzer Yakaryilmaz 2012

主なクレジットはジョン・ファーンリーに送るべきです！

（John Fearnley、Marcin Jurdzinski：Two-Clock Timed Automataでの到達可能性はPSPACE完全です。ICALP（2）2013：212-223）に記載されているPSPACE完全問題は次のとおりです。

S U B S E T S U M - G A M E = {S \forall (a_{1}, b_{1}) \exists (e_{1}, f_{1}) \dots \forall (a_{n}, b_{n}) \exists (e_{n}, f_{n})},

$\begin{equation} \mathtt{SUBSETSUM\mbox{-}GAME}=\{ S~ \forall(a_1 , b_1) \exists(e_1,f_1) \cdots \forall(a_n , b_n) \exists(e_n,f_n) \}, \end{equation}$

$S$ $a_i,b_i,e_i$ $f_i$ $1 \leq i \leq n$
$x=(x_1,\ldots,x_n) \in \times_{i=1}^n \{ a_i,b_i \}$ $y=(y_1,\ldots,y_n) \in \times_{i=1}^n \{ e_i,f_i \}$ $S = \sum_{i=1}^n = x_i+y_i$

同様に、多項式階層（PH）の各レベルについて完全な問題をいくつか定義できます。しかし、もちろん、PHのあるレベルで完了している場合、各数量詞の後に2つの自然数しかないという条件を解放する必要があります。

— アブザー・ヤカリルマズ
ソース