Pには理解できない言語が含まれていますか？（TCSコミュニティWiki）

回答：不明

この質問とそれに関連する定義を洗練させてくれたすべての人に感謝します。

このwikiの定義は、最新のTCS wiki「Pには、PAまたはZFCに依存しない言語が含まれていますか？（TCSコミュニティwiki）」の出発点となりました。

その定義と命名法は、この古いWikiのものよりもかなり洗練されているため、最新のWikiが好まれます。

特に、この古いwikiの命名不可解 分かり 言語とTMSはで新しいウィキに取って代わられる不可解な⇔グノーシス主義。定義の詳細（ただし、これは重要ですが）は別として、2つのWikiは同様のクラスの質問に対応しています。$\Leftrightarrow$  $\Leftrightarrow$

さらなる回答は大歓迎です

さらなる回答は歓迎です（言うまでもなく）。さらに定義的なチューニングが適切である可能性があります。1つの主要な教訓は、このクラスの質問は定式化するのが難しく、厳密に答えるのはさらに難しいことです。

背景として、Sasho Nikolovの回答は「受け入れられた」と評価されました。これは、質問の意図を捉えた定式化を提供したためです。質問に対する回答は（明らかに）不明です。

Philip Whiteの貴重な答えは、TMの段階的な定義の理解を促しました。これは、理解しにくい、非常に理解できない、標準的に理解できないのです（以下の「理解不能の段階的定義」を参照）。

次の質問文には、伊藤剛、マルツィオ・デ・ビアシ、ハック・ベネット、リッキー・デマー、ピーター・ショー、およびルカ・トレビザンによる貴重なウェブログ投稿によって提供された貴重な洞察と提案が暫定的に組み込まれています。

正式な定義

理解できないチューリングマシンは（ZFC内で）次のように定義されます。

D1   すべての入力文字列に対して証明可能に停止するチューリングマシンMを考えると、以下のステートメントが少なくとも1つの正の半正の実数rに対して証明可能でも否定的でもない場合、Mは不可解と呼ばれます。$r$

ステートメント： Mのランタイムは、入力長nに関して${O}(n^r)$$n$

逆に、Mは、理解できない場合を除き、包括的と呼ばれます。

一義化決定可能

ウィキペディアのエントリ「決定不能な問題：決定不能な文の例」では、証明理論と計算可能性理論の文献で慣習である用語「決定不能」の異なる感覚を簡潔にレビューしています。あいまいさを回避するために、尋ねられた定義と質問は、「証明可能でも反証的でもない」という用語のみを採用しています。

これに関するさらなる参照は、Jeremy Avigadのコースノート「停止問題による不完全性」、Scott Aaronsonのウェブログエッセイ「チューリングマシンを介したRosserの定理」、およびLuca Trevisanのウェブログポスト2つの興味深い質問です。

理解できないチューリング機械の存在について

理解できないチューリングマシンが存在するということは、具体的にはエマニュエルヴィオラによる構造と、ジュリスハートマニスの複雑な理論的枠組みから具体的に続いています。特に、Violaの構成は、Jeremy Avigadのコースノート（私が理解しているように）の方法を介して、次の補題を提供します。

補題[ヴィオラの含意]
    （言語LがわかりやすいTMに受け入れられる場合）          （Lは理解できないTMに受け入れられます）。$\to$

理解不能の定義における自然性の尊重

ビオラの含意への逆の含意が真実かどうか疑問に思うことは自然です。

以下のPhilip Whiteのコメントでは、理解できない機械のランタイムを（実質的に）パッドする計算モジュールであるポリリミッターを介して、理解できないTMをわかりやすいTMに簡単に減らす方法を示しているため、自然性の考慮には、逆の意味合いを慎重に提示する必要がありますわかりやすい機械に還元するように。

特に、「理解不能の新しい要素を導入することにより、理解不能の古い要素を審美的に隠さない」ことを要求することは当然です。問いかけられた質問に関連する重要な課題は、「不可解性の自然な定義が存在するのか」ということです。…（ここでTCSの議論を与えられた）私たちはおそらく、複数の自然な答えを持っているかもしれない非自明なメタ質問と見なすべきです。

この指針となる自然性の原則の観点から、理解し難さの段階的な定義は次のように指定されます。

理解不能の段階的な定義

$r$$r$

D3   言語a は、（a）  少なくとも1つのチューリングマシンMが効率的かつ理解不能であり、さらに（b）  証明可能（ZFCで）を受け入れる効率的でわかりやすいTM がない場合に、言語Lが理解不能であると言いますL.

D4   理解できないTMは、受け入れる言語が理解不能である場合、非常に理解不能であると言います。

D5   強く理解できないTMは、それが効率的である場合、標準的に理解できないと言います。

これらの定義は、すべての理解できない言語が、標準的に理解できない少なくとも1つのTMによって受け入れられることを保証し、さらにD3（a）およびD3（b）を  考慮して、標準的に理解できないTMから包括的なTMおそらく同じ言語を認識します。

3つの質問

Q1は   ない複雑性クラスP不可解な言語が含まれていますか？

Q2   少なくとも1つの理解できない言語を具体的に表現できますか？（もしそうなら、建設的な例を提供します）。

Q3   少なくとも1つの標準的に理解できないTMを具体的に表現できますか？（もしそうなら、建設的な例を提供します）。

動機

複雑度クラスPの理解できない特性は、テリータオのブルーアイドアイランダーズパズル、ディックリプトン、ケンリーガンのウルンチョイスゲーム、およびそれらのハイブリッド化を含む（この質問の元の提案者にとっての）幅広いクラスの問題の理解を妨げますBalanced Advantage Newcomb Gameを介したNewcombのパラドックスのコンテキスト。

ジュリス・ハートマニスのモノグラフFeasible計算と証明可能な複雑性プロパティ（1978）が次のように述べています。

アルゴリズムの複雑さに関する結果は、正式に証明できる計算の特性のみを考慮すると、根本的に変化します。

ハートマニスの洞察をとらえる適切な定義と仮定を構築するための苦労は、複雑性クラスPが非常に独特なチューリングマシンによって認識される非常に独特な言語を持っていることをよりよく理解するのに役立ちます）把握から非常に遠い。完全に厳密な意味で、複雑度クラスPが理解できるかどうかは現在知られていないことは驚くべきことです。

コメントと回答を提供してくれたすべての人に感謝します。

（問題の未決定のインスタンスがない/計算できない時間制限のあるポリタイムアルゴリズムがない理由を説明したばかりの答えの部分はもはや関連していないので、私は引退しています）

$T$$M$$M$$T$

• ポリタイムマシンがあります $M$$M$
• $M$$M'$

それで、あなたの質問への答えは「ノー」であるように思われます：あるマシンによってポリタイムで決定可能な言語は、証明可能なポリタイムマシンによって決定されます。しかし、おそらくあなたの質問は次のようになります：

• $M$$M'$$M$

答えはイエスだと思いますが、現時点ではこれに専念する時間はありません。

質問を解釈しようとする拡張コメント。

$M$その停止することが約束されています$M$、少なくとも1つの場合にのみ不可解正の半正実数$r$以下質問$Q_{M,r}$

オプション1

$Q_{M,r}(n)$$M$$n^r$$n$

$2^n$$M$$\Rightarrow$

オプション2

$Q_{M,r}$$M$$O(n^r)$

$\Rightarrow$

そして、「OK、でも値1または0を計算して、オプション2の質問に答えるアルゴリズムを構築することはできますか？」と尋ねると、次のように戻ります。

$Q_{r}(M)$$M$$O(n^r)$$M$

あなたの質問＃1への答えは間違いなく「いいえ」です。（非常に長い）コメントセクションで誰かが指摘したように、マシンに「ポリリミッティング」を簡単に追加できます。つまり、rが何であるかわからなくても、rより大きい整数を推測した場合（明らかにこれは間違いなく可能です）、「理解できない」チューリングマシンをシミュレートするオーバーヘッドマシンをセットアップし、それを強制することができますチューリングマシンが受け入れる言語を変更せずに、多項式時間での実行を停止します。この方法で、「理解できない」多項式時間チューリングマシンを「理解できる」多項式時間チューリングマシンに変換できます。つまり、Pには「理解できない」チューリングマシンだけで決定できる言語はありません。

これがお役に立てば幸いです。あなたの質問とあなたの意図を完全に誤解していない限り、私の答えは間違いなく正しい。それはまったく未解決の問題ではありません。