ユニタリグループに対する最適化の複雑さ

ユニタリ群上のさまざまな関数を最適化する計算の複雑さは何ですか？$\mathcal{U}(n)$

量子情報理論で頻繁に発生する典型的なタスクは、すべてのユニタリ行列Uでタイプ（またはUの高次多項式）の量を最大化することです。このタイプの最適化は効率的に（おそらく）計算可能ですか、それともNP困難ですか？（おそらくこれはよく知られていますが、私は一般的な参照を見つけることができませんでした）$\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$$U$$U$

すいません遅れました！量子コンピューティング理論では、ユニタリグループに対する最適化問題の例が数多くあります。驚くべきことに（少なくとも私にとっては）、半正定値計画に還元することで（古典的な）多項式時間で解くことができます。

初期の例は次のとおりです。2000年から2003年に私の問題を解決したBarnum、Saks、Szegedyは、ブール関数f：{0,1} ⁿ →{0,1 の量子クエリの複雑さであるQ（f）}、2 ^nの時間多項式で計算できます（つまり、fの真理値表のサイズ）。私はこれについて考えていましたが、それを行う方法を見ることができませんでした。なぜなら、それぞれが独自の（おそらく2 ⁿサイズの）ユニタリ行列のセットを持つすべての可能な量子クエリアルゴリズムに対して成功確率を最適化する必要があるからです。バーナム等。ユニタリ行列と正の半正行列の間の「双対性」、いわゆるチェ・ジャミオルコフスキー同型を利用することによりSDPに縮小。Q（f）を特徴付ける最近のよりシンプルなSDPについては、負の重みの敵対法が最適であることを示すReichardtの2010年の論文を参照してください。

このトリックが悪用された別の重要なケースは、量子インタラクティブ証明システムです。直感的には明らかではありませんが、2000年にKitaevとWatrousはQIP⊆EXPであることを証明しました。3ラウンド量子インタラクティブ証明システムで発生する指数サイズのユニタリ行列を最適化する問題を軽減することにより、単一指数サイズのSDPを解きます（混合状態間でChoi-Jamiolkowski同型を使用して、ユニタリ行列）。最近のQIP = PSPACEのブレークスルーは、特定のSDPがNCで（つまり、ログ深度回路によって）ほぼさらに良く解決できることを示したことに由来します。

したがって、ユニタリグループに関連する特定の最適化問題が何であれ、それはあなたが思っているよりも速く解決できると思います-もっと簡単な方法でなければ、SDPに還元することによって！

2つのアダマール行列が等価かどうかを判断することは、グラフ同型（GI）完全問題です。ブレンドン・マッケイはこのトピックに関する論文を持っています。BD McKay、グラフ同型を介したアダマール等価、離散数学、27（1979）213-216を参照してください。