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平面グラフが与えられ、各エッジの長さ平面stへの埋め込みを示すようにします。さらに、各点が含まれる点のセットがあります。さらに、任意の点、までの測地線距離が最大1のが存在することを保持します。（距離は内の最短距離として測定されます。）G 1 C C ∈ C G P G C ∈ C P GG = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)GG\mathcal{G}111CCCC ∈ Cc∈Cc \in CGG\mathcal{G}pppGG\mathcal{G}c∈Cc∈Cc \in CpppGG\mathcal{G} 上記の条件に当てはまるが与えられた、簡単に頂点カバーに変換したり、別の言い方をすれば、同じカーディナリティのに変換したり、任意のを配置できると主張したい は頂点にあり、はカバーしています。、C '、C ∈ C ' G G C ' GCCCC′C′C'c∈C′c∈C′c \in C'GG\mathcal{G}GGGC′C′C'GGG 私のアプローチは、エッジの方向を決めて、円弧の終了頂点でのポイントを移動することでした。しかし、これまでのところ、からを生成する正しい方向を見つけることができませんでした。C ′ CCCCC′C′C'CCC 誰にもアイデアがありますか？

16 algorithms  graph-theory  set-cover 

我々は持っているN1×N2N1×N2N_1 \times N_2のグリッドを。このグリッドには四角形のコレクションがあり、各四角形はN1N1N_1行N2N2N_2バイナリ行列として表すことができますRRR。これらの長方形でグリッドをカバーしたいです。 このセットの決定版はNP完全問題をカバーしていますか？ 入力：コレクションC={R1,R2,…,RL}C={R1,R2,…,RL}\mathcal{C}=\{R_1,R_2,\dots,R_L\}長方形のグリッド上に（入力サイズ：N1N2LN1N2LN_1N_2L）、及びK∈N+K∈N+K \in \mathbb{N}^+ 出力：サブセットS⊂CS⊂C\mathcal{S}\subset\mathcal{C}と|S|≤K|S|≤K|\mathcal{S}|\leq K及びSS\mathcal{S}それをカバーする各セルの少なくとも一つの矩形の含有します。 1Dの場合（N2=1N2=1N_2=1）は、動的計画法によって多項式時間で解くことができることがわかりました。最適なカバーは、 最初のN1−n1N1−n1N_1-n_1セルをカバーするいくつかのサブ問題の最適なカバー。 残りのn1n1n_1個のセルをカバーする1D長方形、つまり間隔。 しかし、DPが2Dの問題に対して機能することはないと思います。1Dの問題については、部分問題を解決する必要がありますが、2Dについては（ N 1 + N 2N1N1N_1副問題（グリッド上の北東ラティスパスの数）。(N1+N2N2)(N1+N2N2)\binom{N_1+N_2}{N_2} 問題はNPかもしれないと思いますが、（Pより難しいように見えますが）確信がなく、NP完全問題（3-SAT、頂点カバー、...）から多項式縮約を見つけることに成功していません ヘルプまたはヒントを歓迎します。

15 complexity-theory  np-complete  set-cover 

2つの有限集合のデカルト積のサブセットが与えられた場合、デカルト積そのものであるセットによる最小のカバーを見つけたいと思います。私× JI×JI \times J 例えば、との積所与およびJ = { 1 、2 、3 }、Iは、サブセット観察することができる{ （A 、2 ）、（B 、3 ）、（B 、2 ）}そして、最小数のデカルト積でそれをカバーしようとします。私= { A 、B 、C}I={A,B,C}I=\{A,B,C\}J= { 1 、2 、3 }J={1,2,3}J=\{1,2,3\}{ （A 、2 ）、（B 、3 ）、（B 、2 ）}{(A,2),(B,3),(B,2)}\{(A,2), (B,3), (B,2)\} そうするには、2つの方法があり及び{ A 、B } × { 2 } + { B } × { …

11 algorithms  set-cover 

nnn人のグループがあります。グループ内の誰にプレゼントを買わなければならないかというリストが与えられます。一人一人がプレゼントをいくつでも買う必要があるかもしれません。ショッピング旅行では、人々のサブセットが同じ店に一緒に旅行し、店にいない人のためにプレゼントを購入します。彼らは同じ買い物で他の人にプレゼントを買わないかもしれません。人は複数の買い物旅行に行くかもしれません。みんなが必要なプレゼントを買うのに必要な買い物の回数をできるだけ少なくしたい。 例として、5人でグループ内の他のすべての人にプレゼントを購入する必要がある場合を考えます。人に1から5までの番号を付けます。これは、次のように4回の買い物で行うことができます。 旅行1：1、2、3、買い物に行く 旅行2：1、4、5は買い物に行く 旅行3：2、4、買い物に行く 旅行4：3、5買い物に行く この問題を解決するにはどうすればよいですか？入力を有向グラフで表すことができるのは明らかですが、そこからどこに行くべきかわかりません。誰かがビクリクカバーの問題を提起しましたが、似ていますが、この質問には答えません。 入力はn個の頂点の有向グラフと考えることができます。ここで、エッジ（u 、v ）は、人uが人vのプレゼントを購入する必要があることを意味します。目標はbicliquesのセットを見つけることである（S 1、T 1）、... 、（SのK、TがK）ように、kが最小であり、エッジ集合Eグラフのがのサブセットである∪ I（S I × T 私GGGnnn(u,v)(u,v)(u,v)uuuvvv(S1,T1),…,(Sk,Tk)(S1,T1),…,(Sk,Tk)(S_1,T_1),\dots,(S_k,T_k)kkkEEE∪i(Si×Ti)∪i(Si×Ti)\cup_i (S_i \times T_i)。また、ビクリクの定義を有向グラフに拡張すると、ビクリク(Si,Ti)(Si,Ti)(S_i,T_i)は、SiSiS_iをマッピングするエッジのみが含まれますTiTiT_i。bicliqueカバーの問題からこれ異なり、我々はの部分グラフであることを各bicliqueを必要としないという点で、GGG（私たちは必要ありませんSi×Ti⊆ESi×Ti⊆ES_i \times T_i \subseteq Eそれぞれのiii）。 具体的には、次のいずれかの答えを受け入れます。 この問題がNP困難または この質問に正確に答える多項式時間アルゴリズムを提示します（近似または上限なし） 記録としては、この問題はどこにも見られませんでした。私は自分の好奇心のためにそれについて疑問に思っています。

10 algorithms  graph-theory  set-cover 

次の問題がNP困難であることを示しようとしています。 入力：整数eee、および接続された無向グラフ G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)、頂点加重グラフ 出力： パーティションGGG、 Gp=(V,Ep)Gp=(V,Ep)G_p=(V,E_p) いずれかを削除して取得 eee からのエッジ EEE 最大化する max∑Gi∈{G1,G2,...,Gk}1|Gi|⎛⎝∑vj∈Viw(vj)⎞⎠2,max∑Gi∈{G1,G2,...,Gk}1|Gi|(∑vj∈Viw(vj))2,\max \sum\limits_{G_i \in \{G_1,G_2,...,G_k\}} \frac1{|G_i|}\left(\sum_{v_j \in V_i}w(v_j)\right)^{\!2}, ここで、と要素は互いに素です。はの頂点セットで、は頂点重みですGp=G1∪G2∪ ⋯ ∪GkGp=G1∪G2∪⋯∪GkG_p=G_1 \cup G_2 \cup \dots \cup G_kGGG V私ViV_iG私GiG_iw （vj）w(vj)w(v_j)vjvjv_j わかりやすい英語の説明：目的を最大化するために、eeeエッジを削除してグラフを分割します。目的は、結果の分離したサブグラフのそれぞれについて、サブグラフの頂点の合計を計算し、その値を二乗し、カーディナリティで除算します。最後に、これをすべてのサブグラフについて合計します。 これまで、レシオカット、パーティション（グラフ以外の問題）、最大マルチカットなどのNPハード問題からの削減を試みました。また、問題の特殊なケースがNP困難（理想的ではない）であることを示すように試みました。この問題が（ほとんどのグラフ分割問題がNPハードであることに加えて）NPハードであると疑う理由は、パーティションの重みの間にカーディナリティ項とクロス項が存在するためです。入力/問題の提案があれば役に立ちます。あらゆる種類の特定のグラフに対するNPハード証明は有用でしょう。

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