任意のカバーを頂点カバーに変換する

平面グラフが与えられ、各エッジの長さ平面stへの埋め込みを示すようにします。さらに、各点が含まれる点のセットがあります。さらに、任意の点、までの測地線距離が最大1のが存在することを保持します。（距離は内の最短距離として測定されます。） $G=(V,E)$ $\mathcal{G}$ $1$ $C$ $c \in C$ $\mathcal{G}$ $p$ $\mathcal{G}$ $c \in C$ $p$ $\mathcal{G}$

上記の条件に当てはまるが与えられた、簡単に頂点カバーに変換したり、別の言い方をすれば、同じカーディナリティのに変換したり、任意のを配置できると主張したいは頂点にあり、はカバーしています。 $C$ $C'$ $c \in C'$ $\mathcal{G}$ $G$ $C'$ $G$

私のアプローチは、エッジの方向を決めて、円弧の終了頂点でのポイントを移動することでした。しかし、これまでのところ、からを生成する正しい方向を見つけることができませんでした。 $C$ $C'$ $C$

誰にもアイデアがありますか？

algorithms graph-theory set-cover

— user695652
ソース

私は問題をよく理解していません。" in "はどういう意味ですか？どのくらい正確に距離を測定しますか？あなたがその意味場合は端に常にある、あなたがせいぜい距離で、どちらかの終わりに、その後のすべての点をそれを置く場合と思われるつまり、両方のエンドポイント- -それから、最大で距離のままであるそれから。どんな向きでも。

p

$p$

G

$\mathcal{G}$

p

$p$

1

$1$

1

$1$

— ユヴァルフィルマス

@Yuval Filmusの描画アークヨルダンである、すなわちAサブセットの。は、平面上のどこでもなく、点が図面に含まれている必要があることを意味します。距離は、の測地線距離、つまり図面内の2点を結ぶ最短経路として測定されます。最後に、4サイクルを取り、最初と3番目のエッジの中央に2つのポイントを置きます。これはグラフ全体をカバーしますが、時計回りの頂点エンドポイントで1つのポイントを移動し、反時計回りの頂点エンドポイントで1つのポイントを移動すると、カバーしません

G

$\mathcal{G}$

G

$G$

\mathhbb R^{2}

$\mathhbb{R}^2$

p \in G

$p \in \mathcal{G}$

G

$\mathcal{G}$

— user695652

でない点場合エッジの中間点に正確に位置、それは各点関連付けるために十分で内の最も近い頂点に。これを証明するための演習として読者に任せます（ヒント：矛盾による証明）。 $C$ $\mathcal{G}$ $C$ $\mathcal{G}$

一方、点がエッジの中間点にある場合、反例を提供できます。 $C$

ここに画像の説明を入力してください

青い線と円はで、赤い十字はです。 $\mathcal{G}$ $C$

追加して編集：双連結グラフの例

ここに画像の説明を入力してください

— ムム
ソース

反例に感謝します。グラフを双連結に制限すると、すべてのポイントが中央にあるとしても、主張は正しいということに同意しますか？

— -user695652

双連結性があなたを救うとは思わない。新しい例を使って答えを編集しました。

— mhum

これはかなり異なる質問です。個別に投稿するのが理にかなっているかもしれません。

— mhum

@mhumどのようにしてグラフの写真を作りましたか？それに何らかのプログラムが存在しますか？

— Tacet

@Tacet私はこれらをどのように行ったか正確には覚えていません。最初のものはMS PaintまたはGIMPだったと思う。2番目はGIMPまたはGeogebraのいずれかです。

— ムム