デカルト積による有限デカルト積のサブセットの最小カバーの検索


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2つの有限集合のデカルト積のサブセットが与えられた場合、デカルト積そのものであるセットによる最小のカバーを見つけたいと思います。I×J

例えば、との積所与およびJ = { 1 2 3 }、Iは、サブセット観察することができる{ A 2 B 3 B 2 }そして、最小数のデカルト積でそれをカバーしようとします。I={A,B,C}J={1,2,3}{(A,2),(B,3),(B,2)}

そうするには、2つの方法があり及び{ A B } × { 2 } + { B } × { 3 }、2つの製品を必要両方。次善の解決策は、それを3つのささいな製品に分割することです。{A}×{2}+B×{2,3}{A,B}×{2}+{B}×{3}

そのような最適なカバーを効率的に見つけることができますか(多項式時間など)?


この問題を思い出します。「ビットベクトルのデカルト結合を因数分解する」(cstheory.SE、言い方は大幅に異なります)は、回路理論の下限に関連しています。あなたの問題はどのような状況で発生しますか?
vzn 2015年

私のコンテキストはネットワークセキュリティです。多くのサーバーがある大規模なネットワークでは、セキュリティポリシーによって、どちらがどのネットワークと対話するかが定義されます。このようなポリシーが長期間にわたって増分的に構築される場合(通常はそうです)、セキュリティポリシーの説明は、セキュリティルールをマージすることによって簡略化できます。私はそのような最適化を見つけたいと思っています。
yuvalm2 2015年

I×J

1
|I||J|

3
G=(L,R,E)E

回答:


2

NMは、この問題をコメントで再構成して、2部グラフをカバーする2部クリーク(2部クリーク)の最小数を見つけるとしています。あなたが言及する2つのセットは、2部グラフの2つの頂点セットです。2つの頂点セットのサブセットのデカルト積はビクリクです。ウィキペディアは、これが二部の次元の問題であり、GareyとJohnsonの問題GT18であると述べており、集合基底問題SP7の簡単な再定式化に基づいてNPが完全であることを証明しました。

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