タグ付けされた質問 「planar-graphs」

私のクラスでは、生徒は、すべての有限オートマトンをエッジを交差させずに描画できるかどうかを尋ねました（私の例はすべてそうでした）。もちろん、答えは否定的であり、言語{x∈{a,b}∗∣#a(x)+2#b(x)≡0mod5}{x∈{a,b}∗∣#a(x)+2#b(x)≡0mod5}\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}明らかなオートマトンです。x \ in \ {a、b \} ^ * \ mid \ #_ a（x）+2 \ #_ b（x）\ equiv 0 \ mod 5 \; \}は、5つのノード上の完全なグラフK5K5K_5の構造を持ちます。Yuvalは、関連言語についても同様の構造を示しています。 私の質問は次のとおりです。この言語のすべての有限状態オートマトンが非平面であることをどのように示しますか？Myhill-Nerodeのような特性化では、おそらく言語の構造がダイアグラムに存在することを確立できますが、これをどのように正確にするのでしょうか？ そして、もしそれができれば、「平面の通常言語」の特徴はありますか？

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私がグーグルで見つけたいくつかのスライドによると、任意の正方形グリッドグラフのツリー幅はです。ツリー幅とツリー分解について研究を始めたばかりで、ほとんどの場合それは理にかなっています。しかし、私は特に正方グリッドグラフのケースに興味がありますが、そのような幅の狭いグラフをツリー分解することがどのように可能であるかについて苦労してきました。k×kk×kk \times k GGGtw(G)=ktw(G)=ktw(G) = kk×kk×kk \times k （幅がである分解ツリーを確実にするために）以下のグループを持つ小さな正方形グリッドの分解ツリーを描画しようとするときに遭遇する問題の1つは、グラフが "循環的"であるため、コーナーノードは、ツリーの2つの反対側の端に表示されますが、2つの間のパス上のノードには表示されません。これは明らかに、分解ツリーのコヒーレンスプロパティに違反しています。これは、Wikipedia（ほとんどの場合よりも正確な定義）によると、次のとおりです。k+1k+1k+1kkk 場合、、及び（分解ツリー内の）ノード、及びあるからパス上にあるに、次いで 。XiXiX_{i}XjXjX_{j}XkXkX_{k}XkXkX_{k}XiXiX_{i}XjXjX_{j}Xi∩Xj⊆XkXi∩Xj⊆XkX_{i}\cap X_{j}\subseteq X_{k} 以下の場合の：私は2つのノードが含まれていると考えることができ（Iが有効であると信じるもの、または少なくとも）グラフ、唯一の有効な分解ツリーここで、ノードは左上隅から始まる行でラベル付けされています。3×33×33 \times 3{{1,2,3,4,6,7,8,9},{2,4,5,6,8}}{{1,2,3,4,6,7,8,9},{2,4,5,6,8}}\{\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 6, 8\}\} 1 2 31 2 31\space2\space3 4 5 64 5 64\space5\space6 7 8 97 8 97\space8\space9 これを行うには、最初のツリーノードの周囲の頂点と、隣接する頂点とともに内側の頂点（）を取得して、すべてのエッジと頂点が含まれるようにします。555 結局のところ、私の質問は、正方形正方形グリッドグラフのツリー幅を実際にはどのようにしてに等しくできるのかということです。これが正しい場合、このプロパティを示す分解ツリーの簡単な例を提示/説明できますか？k×kk×kk \times kkkk

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