平面正規言語

私のクラスでは、生徒は、すべての有限オートマトンをエッジを交差させずに描画できるかどうかを尋ねました（私の例はすべてそうでした）。もちろん、答えは否定的であり、言語$\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$明らかなオートマトンです。x \ in \ {a、b \} ^ * \ mid \ #_ a（x）+2 \ #_ b（x）\ equiv 0 \ mod 5 \; \}は、5つのノード上の完全なグラフ$K_5$の構造を持ちます。Yuvalは、関連言語についても同様の構造を示しています。

私の質問は次のとおりです。この言語のすべての有限状態オートマトンが非平面であることをどのように示しますか？Myhill-Nerodeのような特性化では、おそらく言語の構造がダイアグラムに存在することを確立できますが、これをどのように正確にするのでしょうか？

そして、もしそれができれば、「平面の通常言語」の特徴はありますか？

この言語のすべてのDFAが非平面であることは真実ではありません。

本当に非平面の言語は次のとおりです。

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ この言語の平面FSAを使用します。到達不能な状態をすべて削除しても、平面グラフが表示されます。各到達可能状態には、6つの異なる出力エッジがあります。これは、すべての平面グラフの頂点が最大5つであるという既知の事実と矛盾します。

この概念は以前に研究されています。（答えがわかったら、グーグルで検索してください...）

最初に、BookとChandraによる古い作品があり、次の要約があります。

概要。すべての有限状態オートマトンに対して、平面状態グラフを持つ同等の非決定的オートマトンが存在することが示されています。しかし、平面状態グラフを持つ同等の決定論的オートマトンを持たない有限状態オートマトンが存在します。

与えられた例と論証は、ユヴァルが答えたとおりです。

さらに、バイナリアルファベットも考慮します。

2文字のアルファベットには、35状態の本質的に非平面の決定論的オートマトンがあります。

この作業は、BonfanteとDeloupによってかなり最近継続されています。トポロジカルな埋め込みを考慮します。非公式には、グラフの属は、エッジを交差させずにグラフを表面に埋め込むために追加する必要がある穴の数です。属がゼロのグラフは平面です。その場合、言語の属は、その言語のオートマトンの最小属です。

定理9（属ベースの階層）。任意の大きな属の通常の言語があります。

セクション「State-minimal automata vs genus-minimal automata」では、Yuval（5つの状態のK5言語を平面化するために10状態）によって与えられた最初の例である結果が見つかります。

命題7.対応する最小オートマトンの属より厳密に低い属を持つ決定性オートマトンがあります。

G.Bonfante、F.Deloup：正規言語の属、コンピューターサイエンスの数学構造、2018年。doi10.1017 / S0960129516000037。また、ArXiv 1301.4981（2013）

RV Book、AK Chandra、Inherently Nonplanar Automata、Acta informatica 6（1976）doi 10.1007 / BF00263745