kxk正方グリッドグラフのツリー幅

私がグーグルで見つけたいくつかのスライドによると、任意の正方形グリッドグラフのツリー幅はです。ツリー幅とツリー分解について研究を始めたばかりで、ほとんどの場合それは理にかなっています。しかし、私は特に正方グリッドグラフのケースに興味がありますが、そのような幅の狭いグラフをツリー分解することがどのように可能であるかについて苦労してきました。$k \times k$ $G$$tw(G) = k$$k \times k$

（幅がである分解ツリーを確実にするために）以下のグループを持つ小さな正方形グリッドの分解ツリーを描画しようとするときに遭遇する問題の1つは、グラフが "循環的"であるため、コーナーノードは、ツリーの2つの反対側の端に表示されますが、2つの間のパス上のノードには表示されません。これは明らかに、分解ツリーのコヒーレンスプロパティに違反しています。これは、Wikipedia（ほとんどの場合よりも正確な定義）によると、次のとおりです。$k+1$$k$

場合、、及び（分解ツリー内の）ノード、及びあるからパス上にあるに、次いで 。$X_{i}$$X_{j}$$X_{k}$$X_{k}$$X_{i}$$X_{j}$$X_{i}\cap X_{j}\subseteq X_{k}$

以下の場合の：私は2つのノードが含まれていると考えることができ（Iが有効であると信じるもの、または少なくとも）グラフ、唯一の有効な分解ツリーここで、ノードは左上隅から始まる行でラベル付けされています。$3 \times 3$$\{\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 6, 8\}\}$

$1\space2\space3$

$4\space5\space6$

$7\space8\space9$

これを行うには、最初のツリーノードの周囲の頂点と、隣接する頂点とともに内側の頂点（）を取得して、すべてのエッジと頂点が含まれるようにします。$5$

結局のところ、私の質問は、正方形正方形グリッドグラフのツリー幅を実際にはどのようにしてに等しくできるのかということです。これが正しい場合、このプロパティを示す分解ツリーの簡単な例を提示/説明できますか？$k \times k$$k$

のツリー幅（およびパス幅） $k\times k$ グリッドは正確に $k$。（そして、より一般的には、$k\times\ell$ グリッドは正確に $\min\,\{k,\ell\}$）。グリッドの例

ツリー分解のバッグは、。$\{1,2,3,4\}, \{2,3,4,5\}, \{3,4,5,6\}, ..., \{6,7,8,9\}$

バッグにはに隣接するすべてのエッジが既に含まれている  ため、その頂点を再び含める必要はありません。同様に、は、最初のバッグにまだなかった、隣接するすべてのエッジが含まれて  います。$\{1,2,3,4\}$$1$$\{2,3,4,5\}$$2$