クック・レビンの定理が相対論的でないことをどのように示すことができますか？

以下は私が行き詰まっているエクササイズです（ソース：Sanjeev AroraとBoaz Barak、その宿題ではありません）。

神託があることを示す $A$そして、ある言語は、リダクションを計算するマシンがへのアクセスを許可されている場合でも、が3SATに多項式時間に還元可能ではありません。$L \in NP^A$$L$$A$

私が試したのは、を問題解決のオラクルにして、。 この割り当てにより、を保証し、オラクルが還元を実行するマシンに提供されない場合、は3SATに還元できません。インスタンスをマップするには、オラクルがリダクションマシンに提供されている場合でも、文字列を検索する必要があります。しかし、これはこの場合多項式の削減がないことの証明のようには見えません。$A$$L=\{1^n | \;\exists \; \langle M,w \rangle \; \text{s.t.} \; |\langle M,w \rangle|=n \; \text{ and Turing machine M halts on w} \}$

$L \in NP^{A}$$L$$1^n$$2^n$

同じ例を使用してそれを証明する方法はありますか？より簡単な例はありますか？

Cook Levin Theoremは相対論的ですか？を参照してください。。

Arora、Implagiazo、Vaziraniの論文：Relativizing vs Nonrelativizing Techniques：The Role of local checkabilityも参照してください。

P =の相対化に関するベイカー、ギル、ソロベイ（BGS）の論文では、NPの質問（SIAM Journal on Computing、4（4）：431–442、1975年12月）彼らは言語を与える$B$ そして $U_B$ そのような $U_B \in NP^B$ そして $U_B \not\in P^B$、したがって、神託があることを証明 $B$ そのため $P^B \neq NP^B$。

私たちは修正します $U_B$ そして $B$ に $U_{B'}$ そして $B'$ 利用可能な場合でも3SATに削減できない新しい言語を取得するように $B'$ オラクルとして。

最初に、 $3SAT$ ブールインスタンス $\phi$ に $\phi'$ 追加のダミー3CNF式を使用して、 $|\phi'|$ 奇数であり、それらは同等です。つまり、 $\phi$ 満足です $\phi'$満足です。私たちはそれを行うことができます$n+O(1)$ 時間と $O(1)$ パディングしますが、多項式時間と余分な多項式パディングが必要な場合でも問題ありません。

次に、 $B$ そして $3SAT$ に $B'$ どういうわけかBGSの定理はまだ成り立つが、さらに $3SAT \in P^{B'}$。したがって、次のようなことを行います。

$U_{B'} = \{1^n \ \ |\ \ \exists x \in B,$ そのような $|x| = 1^{2n}\}$ そして

$B' = B'_{constructed} \ \cup \{\phi \ \ |\ \ \phi \in 3SAT$ そして $|\phi|$ 奇妙です $\}$。

今私たちは構築します $B'_{constructed}$ 定理によれば、決定論的なマシンが $M_i^{B'}$ 入力用 $1^n$ （$n$ 定理のように決定されます）オラクルに尋ねます $B'$ 奇数の長さのクエリであるかどうかを確認します $3SAT$正しく答えますが、偶数の長さのクエリを要求する場合は、構造に従って続行します。つまり、すでにテーブルにある場合は正しく答え、そうでない場合は毎回答えません。それから私たちは走っていますので$1^n$ 私たちは答えを反転します $2n$ その長さ $M_i^{B'}$ 決めない $U_{B'}$。

これについては、BGSの定理と同様に証明できます。 $B'$ そして $U_{B'}$ また、私たちは持っています $U_{B'} \in NP^{B'}$ そして $U_{B'} \not\in P^{B'}$。

$U_{B'} \in NP^{B'}$証明するのは簡単です。非決定論的チューリングマシンを構築します。$1^n$ 実行する非決定的ブランチを作成します $2n$ 異なるを生成する手順 $2n$-長さの文字列、その後oracleに尋ねる $B'$ もし $2n$長さの文字列は $B'$、そして答えがイエスの場合は受け入れます $1^n$ それ以外の場合は拒否します $1^n$。この構造は、$U_{B'} \in NP^{B'}$。

$U_{B'} \not\in P^{B'}$対角化の議論の助けを借りて証明することができます。基本的にそれはすべてとは異なります$L(M_i^{B'})$ 持っているすべてのオラクルチューリングマシン $B'$オラクルとして。これは私たちが構築する方法のためです$B'_{constructed}$。

さて、次のことによる削減が存在しないことを矛盾によって証明します $U_{B'}$ に $3SAT$ オラクルの可用性がある場合でも $B'$。

オラクルを使用して削減があると仮定します $B'$、すなわち、 $U_{B'} \leq^{B'}_P 3SAT$。

つまり、フォームの文字列を減らすことができます $1^n$ 3SATインスタンスへ $\phi$ を使用する多項式時間決定性マシンを使用する $B'$ オラクルとして。

決定論的なTMを説明することができます $M^{B'}$ 文字列を決定します $U_{B'}$ 多項式時間で $B'$オラクルとして。まず、このマシンは入力を減らします$1^n$ 3SATインスタンスに $\phi$ を使用して $B'$オラクルとして。上記の削減があるため、これを行うことができます。次に$\phi$ 奇数長ではありません $M^{B'}$ パッドを入れて作ります $\phi'$奇妙な長さです。次に、これを与えます$\phi'$ オラクルへ $B'$はい/いいえの答えを得る。答えが「はい」の場合は受け入れ、答えが「いいえ」の場合は拒否します。

このマシンは決定論的に多項式であり、オラクルを使用します $B'$。

したがって、我々はそれを証明しました $U_{B'} \in P^{B'}$、矛盾。

したがって $U_{B'} \not\leq^{B'}_P 3SAT$。