＃完全性は近似硬度を意味しますか？

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してみましょうあることが知られているいくつかの計数問題で＃ -Complete。 $\Pi$ $P$

がハード（つまり、ない限り、問題のPTASが存在しない）であることを意味しますか？ $\Pi$ $APX$ $P=NP$

— RB
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いいえ。グラフ内の独立セットのカウントは#Pハードですが、4正規グラフの場合でも、Dror Weitzは、任意のの正規グラフの独立セットをカウントするためのPTASを [3]。（彼が書いているモデルでは、独立したセットを数えることはを取ることに相当します。） $d$ $d\leq5$ $\lambda=1$

0-1行列のパーマネントの計算も#P困難です（これはValiantの元の#P論文[2]にあります）、要件を少し緩和すると、JerrumとSinclairによるFPRASがあります[1]。これは、2部グラフの完全一致のカウントに対応します。

参照資料

[1]マークジェラムとアリステアシンクレア、「パーマネントの概算」。SIAM Journal on Computing、18（6）：1149–1178、1989（PDF）

[2] Leslie Valiant、「パーマネントの計算の複雑さ」。Theoretical Computer Science、8：189–201、1979。（PDF）

[3] Dror Weitz、「ツリーのしきい値までの独立したセットアップをカウントする」。STOC2006。（未公開の完全版：PDF。）

— デビッド・リチャービー
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3

別の例を追加すると、さらに強力な結果が得られました。

（確定的）FPTASは、有界次数2部グラフの一致数をカウントする問題に存在しますが、これは完全な問題です。 $\#P$

— RB
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