P対NPと、NPの問題を効率的に解決するNatureの能力との関係は何ですか？

自然がとんでもない（つまりNP）問題を効率的に簡単に計算する方法について考えていました。たとえば、量子システムには$2^n$ 状態を表す要素ベクトル、ここで $n$パーティクルの数です。これを「解決する」という指数関数的な性質にもかかわらず、自然は余分な時間を必要としません$n$-粒子システム。

これは完全に有効な仮定ではないかもしれませんが、物理学の行動原理は、自然が常に最も簡単な方法で物事をやりたいと思っていることを私に思わせます。それが真実ではない場合、この質問はおそらく意味がありません。

自然がいくつかの問題を効率的に解決できないことがわかった場合、これは多項式時間でNP問題を解決できるという点で私たちが運命を破られることを意味しますか？物理法則は、P対NPに取り組むのに十分強力な武器ですか？最初の質問/アサーションの逆も当てはまりますか（自然がそれを行うことができる場合、私たちにも同様の方法があるはずです）？

ここにあなたに役立つかもしれない5つの発言があります：

1. 現在の信念はつまり、波動関数のexponentialityにもかかわらず、量子力学はなりません（それは有名なのに、私たちは多項式時間でNP完全問題を解決せず、私たちは、ファクタリングや離散対数のような特定の「特別な」NPの問題を解決しましょう）。基本的な難しさは、NP問題の解が波動関数の「どこかに」あるとしても、測定がその解を指数関数的に小さい確率で明らかにするだけの場合、それは役に立たないということです。有用な量子アルゴリズムを取得するには、量子干渉を使用して正しい答えを高い確率で観測する必要があります。これは、いくつかの特別な問題に対して（最もよく知られた古典的なアルゴリズムと比較して）そのように指数関数的に高速化する方法だけが知られていますファクタリングのように。

2. アクションの原則は、自然が魔法の最小化力を持っていることを意味するものではありません。それを確認する最も簡単な方法は、行動原理の観点から定式化された物理法則は、最小化されているものを参照せずに、状態の通常の時間発展の観点からも定式化できることです。

3. P = NPの場合、普遍的なチューリングコンピュータが存在するため（現在使用しています）、NP完全な問題は物理宇宙の多項式時間で解決できます。しかし、逆の方向は明らかではありません！たとえば、P≠NPを仮定したとしても、量子コンピューターが多項式時間でNP完全問題を解くことが論理的に可能です（非常にまれですが）。

4. 効率的に解決できないいくつかの問題があるという単なる仮定は、NP完全な問題がそれらの問題の中になければならないことを確かに意味しません！（たぶん、量子重力により、NP完全問題を線形時間で解くことができることが判明するかもしれませんが、PSPACE完全問題は依然として指数関数的な時間を必要とします... :-D）

5. 価値のあるものは何でも、私のお金はそのP≠NPだけでなく、NP完全な問題は物理的宇宙では扱いにくいものであると、量子コンピューター、アナログコンピューター、「ブラックホールコンピューター」、その他他のリソース。私の理由の詳細については、私の古い調査記事NP-complete Problems and Physical Realityをお楽しみください。

この質問は基本的に、多くの興味深い角度/方向を持つ自然コンピューティングの分野について尋ねています。ここにすばらしい調査記事があります：自然コンピューティングの基礎： de Castroによる概要。

また、これらの領域は、基本的にコンピューティングと物理学の分野で未解決の問題であり、さまざまな理由で明確に答えられない可能性があるという点で、固有の「不確実性原理」の影響を受けます。多くの異なる物理計算システムがあり、新しいものは時間の経過とともに発見されます（たとえば、DNAコンピューティングは比較的若い分野です）。それらすべてが見つかったとは確信できません[経験/歴史からは、私たちが持っている可能性は低い]。

物理学の極限も適用可能であり（たとえば、ブラックホールなど）、これらは物理学の理論を限界まで拡張します。（たとえば、「情報の量は何か」を参照）理論物理学者は一般に、人間の知識や極端なモデルなどではカバーされない物理的現実の側面があることを認めています。

しかし、研究者の間では、強く支持/擁護され、おそらく証明できない信念があり、教会チューリングの論文と同じ意味で「論文」と呼ばれる場合があります。[1] 一部の当局は、あなたの質問に関連する「多項式時」の教会チューリング論文に言及しています。ストロングCT論文への参照もあります。

どのコンピューティングデバイスも、最低でも多項式の速度低下を伴うTMによってシミュレーションできます。

または拡張CT論文[Parberry] [3]：

すべての「妥当な」マシンモデルの時間は、多項式によって関連付けられます。

要するに、この一般的な領域での研究と執筆は解決されていません。そのアクティブ/継続的であり、大きな論争の対象となっています。wikipedia [4]にはいくつかの参照がありますが、それ以外の点では、この件に関する素晴らしい調査記事は見ていません。特定の観点を支持する傾向がある多くの異なる論文のみです。また、QMコンピューティング分野では、実現可能性（固有のノイズ）や実行可能性などに関して、非常に強い現在の議論/論争があることに注意してください。[5]

[1] 物理学と教会チューリング論文 mathoverflow

[2] CT論文 cstheory.se を反証するとはどういう意味ですか

[3] 拡張CT論文 cstheory.se

[4] Church-Turing論文のバリエーション、ウィキペディア

[5] QMコンピューティング Dyakonovの最新技術と展望

私はかつて神経計算の教授に、「アナログ」技術を計算の漸近的限界を減らすために恥ずかしいほど並列の問題でどのように使用できるかについての優れた例を指摘していました。

異なるサイズのスティックの束を取ります。O（n * log（n））を使用して、スティックのバンドルを最長から最短にソートするアルゴリズム的な方法は多数あります。スティックの束を並べ替える「アナログ」の方法は、スティックを端に立て、スティックの一端をテーブルに置くことです（1ステップ）。これで、テーブルに対して同じレベルにある一端を持つすべてのスティックができました。手を取り、上に置きます-最長でヒットし、スティックを取り外し、Nステップ繰り返します。このプロセスはO（N + 1）、つまりO（N）です。ここでの鍵は、棒を端に積み重ねることでした-棒の他の端をZ軸（上）に沿って並べるための超並列ソリューション。

これはきちんとした思考実験であり、アナログソリューションがアルゴリズムの漸近的境界を簡単な方法でどのように減らすことができるかについてのアイデアを与えることができます。ここに2つの大きな警告があります：

1）この例では、NP問題をP問題に変換していません（詳細は後で説明します）。

2）N個のプロセッサを使用してN個のアイテムを並べ替えた場合、数値をO（log n）時間で（大きな定数で）並べ替えることができるため、削減は不思議ではありません。必要なアナログリソースが、非常に並列的な方法で問題を解決する場合、安価な場合があります。安価なリソースのもう1つの例は、複雑な学習とパターン認識のためのニューロン（生物学的）です。

ニューロンはまた、見かけのNP => Pを見通しに入れることができます。NP問題は、最適解を見つけるためのNP です。Pタイムでは、自然にうまくいく「十分な」ソリューションを見つけることができます。Evolutionは、「十分に良い」非常に効率的なソリューションを選択します。平均的な人がほぼO（1）時間でオブジェクトを識別するのにどれほど優れているかを考えます。それは多くの並列処理が行われているためであり、あなたの脳はまだ常に最適なソリューションを思いつくわけではありません。たとえば、目の錯覚、またはキーをどこに置いたかを忘れる（これはコンピューターでは簡単にO（1）になります！）。

本質的にNPとPの別のポイント：最適解を見つけるためにNPを解くことは、最適解を特定することと同じではありません。NP問題の最適解の特定は、P時間で実行できます。ここでも、「十分に良い」ソリューションの認識は、最適なソリューションではなく機能します。タンパク質の折りたたみの例を見てみましょう-これは上記のすべてを行う自然の例です。これは、すべてが並列に作用する分子相互作用力を利用します（計算アルゴリズムのように、一度に1つの原子をアドレス指定するための自然なフォールディング「アルゴリズム」は必要ありません）。また、タンパク質のフォールディングに対する（機能的に）最適なソリューションが見つかるという保証はありません。

タンパク質の誤った折りたたみに起因する病気の多くの例があります。@PeterShorが指摘したように、「自然な」アルゴリズムがまったく機能しない場合があります（熱力学的に最適なソリューションになりますが、機能的なソリューションにはなりません）。それがシャペロンタンパク質が入ってくるところです-それらは正しい折りたたみを正しい機能的な形に導きます（熱力学的局所最小）。正しく形成されたタンパク質は、他のタンパク質とも相互作用して正しい場所に輸送されるため、「悪い」もの（ヒューリスティックアルゴリズムが実際にNP問題を解決しなかったもの）は、どこにも輸送されずに劣化することがよくあります。これらのトランスポートと折りたたみメカニズムはすべて、大規模な並列パイプで発生しています。複数の転写および処理メカニズムが、遺伝子配列の異なるポイントで同時にDNA-> RNA->タンパク質を変換しています。体のすべての細胞は同じことをしています（ただし、生成する化学物質のメッセージは異なります）。

要するに、自然はそれをどのように行うのでしょうか？トリックと並列処理。一般的に、それは実際にNP問題をPに変えるのではなく、単に見やすくするだけです。