拡張教会チューリング論文

このサイトで最も議論されている質問の1つは、教会とチューリングのテーゼを反証することの意味です。これは、DershowitzとGurevichが2008年にチャーチチューリングテーゼがシンボリックロジックの速報であるという証拠を公開したことも理由の1つです。 -恥知らずな自己宣伝- 私が書いたブログエントリ。）

この質問は、Ian Parberryによって定式化された拡張チャーチチューリングテーゼに関するものです。

すべての「合理的な」機械モデルの時間は、多項式によって関連付けられています。

ジョルジオマリネのおかげで、私がしている、以前の紙、Dershowitzの共著者の1つ、と彼、Falkovichの博士課程の学生を学んだ証明公表ちょうどワークショップに現れた拡張チャーチ=チューリングのテーゼ、のの開発を計算モデル2011。

私は今朝、紙を印刷したばかりで、それ以上は何もしませんでした。著者は、チューリング機械はせいぜい多項式のオーバーヘッドで任意の逐次計算装置をシミュレートできると主張しています。量子計算と大規模並列計算は明示的に対象外です。私の質問は、論文の次の記述に関連しています。

推測され、広く信じられているように、使用するデータ構造に関係なく、すべての効果的な実装は、チューリングマシンによってシミュレートでき、時間の複雑さはせいぜい多項式オーバーヘッドであることを示しました。

だから、私の質問：これは、ランダム化のない「真の」逐次計算の場合でも、本当に「広く信じられている」のでしょうか？物事がランダムな場合はどうなりますか？実際にインスタンス化できる場合、量子コンピューティングは反例のようですが、反例となる量子よりも「弱い」可能性はありますか？

準備ラント

CTまたはECTの「証明」について話すことで、この議論に光がどのように追加されるかわかりません。このような「証明」は、「計算」や「効率的な計算」などの言葉を意味するものと同じように、彼らが置かれている仮定とまったく同じように良い傾向があります。それでは、仮定の議論にすぐに進み、「証明」という言葉を省いてみませんか？

これは、元のCTではすでに明らかでしたが、ECTではさらに明確になりました。ECTは「哲学的に証明不可能」であるだけでなく、今日では誤っていると広く信じられています！私にとって、量子コンピューティングは、ECTに関する現代の議論の出発点となるはずの巨大で明白な反例であり、脇に寄せられたものではありません。しかし、DershowitzとFalkovichによる論文は、最後の段落までQCに触れていません。

上記の結果は、アルゴリズムによって固定された重要な項の数で、並列度に一定の境界があると仮定しているため、量子計算などの大規模な並列計算は対象外です。並列モデルの比較的複雑な問題は、近い将来追求されます。

上記の非常に誤解を招くものが見つかりました。QCは、従来の意味での「並列モデル」ではありません。量子力学では、「並列プロセス」間の直接的な通信はありません。振幅の干渉のみです。しかし、指数関数的な数の「並列プロセス」を生成することも簡単です。（実際、私たちが話すように、宇宙のすべての物理システムをそうするように考えることができます！）いずれにせよ、量子力学の解釈（またはその真実か偽りであっても）については、別のものが必要であることは明らかです討論！

さて、あなたの（興味深い）質問に！

いいえ、量子コンピューティング以外のECTに対する説得力のある反例はありません。言い換えれば、場合、私はそれを理解して量子力学は（まだ下記を参照してください---プランクスケールで「アナログ」よりも「デジタル」宇宙を保持する方法で）偽、そしてECTされていた、まだではないでしょう「証明可能」（物理的な世界で何が効率的に計算できるかについての経験的事実に依拠するため）、それは良い作業仮説だろう。

P = BPPであるという今日の強力な証拠のため、ランダム化はおそらく従来から理解されているようにECTに挑戦しません。（注けれども、ということならば、言語の決定問題以外の設定に興味を持っている---たとえば、リレーショナル問題、決定木、または通信の複雑さのために---その後、ランダム化が証明可能できる大きな違いを生む。そして、それらの設定は完全に合理的です話をするもの;彼らはECTについて議論するときに人々が通常念頭に置いているものではありません）

しばしば提起されるECTの「反例」の他のクラスには、アナログまたは「ハイパー」コンピューティングが含まれます。私自身の見解では、現在の物理学の最良の理解では、アナログコンピューティングとハイパーコンピューティングはスケーリングできず、皮肉なことにそれらができない理由は量子力学です！特に、重力の量子理論はまだありませんが、今日知られていることは、毎秒約10 ⁴³計算ステップ以上を実行すること、または約10 ^-33 cm より小さい距離を解決することに対する基本的な障害があることを示唆しています。

最後に、場合あなたがECTにもっともらしいか興味深い課題であるかもしれないディスカッション何も出仮定し、そして唯一のシリアル、ディスクリート、決定論的な計算をできるようにしたい、そして私はECTが保持するDershowitzとFalkovichに同意します！:-)しかし、それでも、その声明に対する私の信頼を高める「正式な証拠」を想像するのは難しいです-本当の問題は、再び、「シリアル」、「離散」、「決定論的」のような言葉を意味する。

最後の質問について：

実際にインスタンス化できる場合、量子コンピューティングは反例のようですが、反例となる量子よりも「弱い」可能性はありますか？

今日、量子コンピューティングの一部を実装できるように見える物理システムの興味深い例がたくさんありますが、すべてではありません（BPPとBQPの中間の複雑度クラスを生成します）。さらに、これらのシステムの多くは、完全なユニバーサルQCよりも簡単に実現できます。例えば参照してください。この論文ブレムナー、Jozsa、およびシェパードによって、またはこの1 Arkhipovと自分でします。

この回答は、Scott Aaronsonの回答の補足として意図されています（主に同意します）。

エンジニアリングの観点から見ると、Dershowitz / Falkovichの記事では「ランダムアクセスメモリ」という意味でのみ「ランダム」という言葉が使用されており、さらに「サンプル」という言葉（またはバリアント）まったく。むしろ、Dershowitz / Falkovic分析の焦点は、数値関数の計算のみに限定されています。

この制限は、現代のSTEM計算リソースの大部分（私が言いたいと思います）が数値関数の制限を尊重せず、分布（例、分子動力学、乱流、流動、破壊伝播）からサンプルを生成することに専念しているため、顕著です、ノイズの多いスピンシステム、古典的なものと量子的なものの両方、ランダムなメディアを伝播する波など）。

したがって、「拡張教会チューリングテーゼ」（ECT）が広く定義されたSTEM計算に実質的な関連性を持つ場合、おそらく数値関数に対する排他的な制限を解除する必要があり、サンプリングを含むECTの一般化された記述を与える必要があります計算（およびその検証と検証）。

この一般化されたECTのサンプリングバージョンは、従来考えられていたTCSの範囲内に収まりますか？TCS Stack Exchange FAQによると、答えは「はい」のようです。

ACM Special Interest Group on Algorithms and Computation Theory（SIGACT）の説明を参照してください... TCSは確率的計算を含む幅広いトピックをカバーしています...この分野の仕事[TCS]は、数学の強調によってしばしば区別されます技術と厳格さ。

$\text{ECTT}$$\{0,1,+,\times\}$$\text{ECTT}$、この合理性の述語は、チューリングマシンへの多項式時間変換を持つモデルによって正確に満たされると言います。公理として、理論が最初から一貫している限り、それが矛盾するという意味では、それは反証可能ではありませんが、私たちの理論の健全性は反証可能です：おそらく、多項式時間変換によるチューリングマシン。この仮説的な発見は、合理的なもの、つまり私が正式な側面を見る方法について考えることのシフトを伴う可能性があることを可能にします。振り返ってみるとささいなことのように思えますが、数学を他のすべてのものと区別することは重要なポイントだと思います。

$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BPP}$$\text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{BQP}$$\text{P}$

たとえば、数値を因数分解するマシンを構築し、そのランタイムが特定の多項式限界を満たすと主張するとします。機械は箱の中にあり、紙テープに書かれた数字を送り込み、要因を印刷します。RSAチャレンジに勝ち、暗号通貨を没収し、多数の選択肢を選択するなどの目的で使用したため、機能することは間違いありません。驚くべき新しいタイプのコンピューターですか、それとも驚くべき新しいタイプのソフトウェアを実行している普通のコンピューターですか？

$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME}$$\text{P}_\text{CTC} = \text{PSPACE}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{PSPACE}$

$\text{P} \neq \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{P}_\text{CTC}$$\text{P} = \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{NP}$$\text{3SAT}$$\text{P}$

$\text{EXPTIME}$$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME} \neq \text{P}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{P} = \text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$

$\text{ECTT}$$\{\in\}$。まだ決まっていない場合は、公理と見なすか、否定を意味する最初の2つのステートメントを一緒に想定して、一貫性のあるギャンブルを取っています。したがって、一貫性を保つことが確実なこれらのアイデアのいずれかを組み込む唯一の選択肢は、合理的な手段の定義と、この特定のモデルが合理的であるという宣言の間です（定義なしでは、それ自体ではあまり意味がありませんと連携）。もちろん、を変更しても、両方を持つことができ、一貫性をことができます$\text{ECTT}$$\{\in\}$

$\text{ECTT}$