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Slutskyの定理は、2つのシーケンスの両方が非縮退ランダム変数に収束する場合でも有効ですか?
Slutskyの定理に関するいくつかの詳細について混乱しています。 ましょう{Xn}{Xn}\{X_n\}、{Yn}{Yn}\{Y_n\}スカラー/ベクトル/行列ランダム要素の二つの配列です。 もしXnXnX_nランダム要素に分布収束XXX及びYnYnY_n 収束定数に確率でcccは、Xn+Yn XnYn Xn/Yn →d X+c→d cX→d X/c,Xn+Yn →d X+cXnYn →d cXXn/Yn →d X/c,\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, } ことを条件cccここで、可逆である→d→d{\xrightarrow {d}}分布の収束を表します。 Slutskyの定理の両方のシーケンスが非縮退ランダム変数に収束する場合、定理はまだ有効であり、有効でない場合(誰かが例を提供できますか?)、有効にするための追加条件は何ですか?

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場合行いと暗示?
質問: バツん→dバツXn→dXX_n\stackrel{d}{\rightarrow}XおよびYん→dY⟹?バツん+Yん→dバツ+ YYn→dY⟹?Xn+Yn→dX+YY_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y これは一般的には当てはまりません。Slutskyの定理は、収束の一方または両方が可能性がある場合にのみ適用されます。 しかし、それが成り立つ事例はありますか? たとえば、シーケンスとが独立している場合。バツんXnX_nYんYnY_n
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