Slutskyの定理は、2つのシーケンスの両方が非縮退ランダム変数に収束する場合でも有効ですか？

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Slutskyの定理に関するいくつかの詳細について混乱しています。

ましょう $\{X_n\}$ 、 $\{Y_n\}$ スカラー/ベクトル/行列ランダム要素の二つの配列です。

もし $X_n$ ランダム要素に分布収束 $X$ 及び $Y_n$ 収束定数に確率で $c$ は、
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ ことを条件 $c$ ここで、可逆である ${\xrightarrow {d}}$ 分布の収束を表します。

Slutskyの定理の両方のシーケンスが非縮退ランダム変数に収束する場合、定理はまだ有効であり、有効でない場合（誰かが例を提供できますか？）、有効にするための追加条件は何ですか？

— ニコラス・H
ソース

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Slutskyの定理は、分布が確率変数に収束する2つのシーケンスには拡張されません。分布が収束する場合、は収束に失敗するか、以外に収束する可能性があります。 $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

例えば、もしすべてのためにの、と同じ分布を有する2つのRVの差に収束しない。 $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

別の対の例は、配列とき、すなわち及び独立しており、両方とも正常に分布に収束 1つの定義されている場合、変数と、次に $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ を参照ダビデによって回答この例の詳細については。

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— 西安
ソース

2

それを拡張するには、独立のような何かが必要です。

— kjetil bハルヴォルセン

両方のシーケンスが代わりに定数に収束する場合、定数はRVの特別な（縮退）ケースであるため、Slutsky DOESがまだ適用されると思いますか？

— ハーフパス

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@ half-pass：これは正しいです。

— 西安

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仮定するであり、ガウスは、その共分散行列であり、ベクトル中心とを。定義とため。次に、および、ここでおよび $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ は標準の標準ランダム変数です。しかし、ガウス分布であるが、中心とその分散は、。分布については何もわかっていないので、が分布していると断言することはできません。 $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

この例は、一般に分布におよびがある可能性があることを示していますが、分布に関する情報がない場合、収束が失敗する可能性があります。 $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

もちろん、が分布にあれば（たとえば、がおよびから独立している場合、すべてが正常です。一般に、シーケンスである（タイトでは、各正ため、我々は見つけることができるよう $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ converges in distribution to some random variable $Z$ .

$(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ converges in distribution to $N(0,\sigma^2)$ .

Proof. Consider an enumeration $(r_j)$ of rational numbers of $[-1,1]$ and a bijection $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ . For $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ , define $(X_n,Y_n)$ as a Gaussian centered vector of covariance matrix $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ . With this choice, one can see that the conclusion of the proposition is satisfied when $\sigma$ is rational. Use an approximation argument for the general case.

— Davide Giraudo
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