場合行いと暗示？

質問：

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ および $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

これは一般的には当てはまりません。Slutskyの定理は、収束の一方または両方が可能性がある場合にのみ適用されます。

しかし、それが成り立つ事例はありますか？

たとえば、シーケンスとが独立している場合。 $X_n$ $Y_n$

— まい
ソース

回答:

@Benの回答を形式化すると、独立性はほぼ十分な条件になります。これは、2つの独立したRVの合計の特性関数が、それらの周辺特性関数の積であることを知っているためです。してみましょう。と独立性の下で、

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

そう

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

（と収束すると仮定しているため） $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

その特徴的な機能である ... 場合は独立しています。そして、2つのうちの1つが連続分布関数を持っている場合、それらは独立します（この投稿を参照）。これは、シーケンスの独立性に加えて必要な条件であり、独立性が限界で維持されます。 $X+Y$ $X+Y$

独立がなければ、

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

制限について一般的な主張をすることはできません。

— アレコスパパドプロス
ソース

正解（+1）。この方法では、より弱い仮定（漸近独立）が直接2番目のステップに進み、結果も得られることにも注意する価値があると思います。これは、目的のプロパティに対して漸近独立性で十分であることを示しています。

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— ベン-モニカを

クラマーザウォルドの定理は必要十分条件を与えます：

ましょうのシーケンスであるランダム変数-valued。次に、 $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

例として、とし、とを定義します。次に、あり、標準正規分布の対称性により、そのただし、、は分布に収束しません。これは、 Cramer-Woldデバイス。 $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— クリストフ・ハンク
ソース

はい、独立性で十分です。ここでの前提条件は、との周辺分布の分布の収束に関係しています。含意が一般に成り立たない理由は、2つのシーケンスの要素間の統計的依存性を扱う先行条件には何もないためです。シーケンスの独立性を課す場合、合計の分布の収束を保証するにはそれで十分です。 $\{ X_n \}$ $\{ Y_n \}$

（Alecosは、特性関数を使用してこの結果を証明する優れた回答を以下に追加しました。特性関数の同じ制限分解が発生するため、漸近的独立性もこの含意に十分です。）

— ベン-モニカの復活
ソース

シーケンスの独立性では不十分な場合があります。また、制限および独立性も必要です。シーケンスは独立しているが場合は、ます。

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— 男

が累積分布関数であるという結論は、では、とが独立しているという事実に基づいています。したがって、収束のモードが場合、とが独立している必要があります。仮定と IIDれる、次いで、および、しかししながら。

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— 男

@Alecosそれらがに収束することに同意した場合、定義により、両方がへの分布で収束することに自明に同意します。また、分布もと他のすべての確率変数に収束します。分布の収束は他の収束モードとは異なり、多くの異なる確率変数に分布を収束できます。制限確率変数は、同じ確率空間で定義する必要さえありません。唯一の唯一のものは限界分布です。

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— 男

@Alecosは別の言い方をすると、分布は、シーケンスが独立していることを話すだけでは十分に定義されていないことに注意してください。あなたは持つことができるとの依存構造に関する一切の仮定を行わずにとあなたがの依存性について強い仮定作る場合でも、と。これまでに行ったのは、と辺縁部だけです。

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— 男

ああ; 私は理解したと思います。質問の元のステートメントを保持するには、と独立性について追加の条件が必要だと言っています。正しく理解できましたらお知らせください。

X

$X$

Y

$Y$

— 2019年