タグ付けされた質問 「sigma-algebra」

サンプル空間形成するさまざまな結果を使用したランダムな実験があり、イベントと呼ばれる特定のパターンに興味を持って調べますシグマ代数（またはシグマフィールド）は、確率測定を割り当てることができるイベントで構成されています。nullセットとサンプル空間全体の包含、ベン図表との結合と交点を記述する代数など、特定のプロパティが満たされています。 Ω,Ω,\Omega,F。P ∅ F.F.\mathscr{F}. PP\mathbb{P}∅∅\varnothing 確率は、代数と区間間の関数として定義されます。全体で、トリプルは確率空間を形成します。σσ\sigma[0,1][0,1][0,1](Ω,F,P)(Ω,F,P)(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}) 誰かが代数を持っていなかった場合に確率構造が崩壊する理由を簡単な英語で説明できますか？それらは、その書道「F」がありえないほど真ん中に押し込まれています。それらが必要だと信じています。イベントは結果とは異なることがわかりますが、\ sigma-代数がなければ何がおかしくなりますか？σσ\sigmaσσ\sigma 問題は、どのタイプの確率問題において、σσ\sigma代数を含む確率空間の定義が必要になるかです。 ダートマス大学のWebサイトにあるこのオンラインドキュメントは、わかりやすい英語の説明を提供します。アイデアは、単位周囲の円上で反時計回りに回転する回転ポインターです。 まず、図に示すように、単位円の円とポインターで構成されるスピナーを作成します。円上の点を選択してにラベルを付け、次に、円上の他のすべての点に、から反時計回りに測定した距離（など）のラベルを付けます。実験では、ポインターを回転させ、ポインターの先端にあるポイントのラベルを記録します。ランダム変数にこの結果の値を示します。サンプル空間は明らかに間隔000xxx000XXX[0,1)[0,1)[0,1)。各結果が等しく発生する可能性がある確率モデルを構築したいと思います。可能性のある結果の数が限られている実験で[...]のように進めた場合、可能性のある結果のすべてについて確率の合計がそうでないため、確率を各結果に割り当てる必要があります等しい1（実際、数え切れない数の実数を合計するのは難しい仕事です;特に、そのような合計が何らかの意味を持つためには、せいぜい数え切れないほどの被加数の多くがと異なる場合があり。）割り当てられた確率の全ては、その後、合計があり、 ではなくそれがあるべきように、。000000000000111 したがって、各ポイントに確率を割り当て、（数え切れないほど）無限の数のポイントがあるとすると、それらの合計はます。>1>1> 1

122 probability  intuition  measure-theory  sigma-algebra 

多くの場合、統計の（自己）研究の過程で、「σσ\sigmaランダム変数によって生成される代数」という用語に出会いました。私はウィキペディアの定義を理解していませんが、最も重要なのは、その背後にある直感を理解していないことです。なぜ/ときに我々が必要なのですσ−σ−\sigma-ランダム変数によって生成された代数を？それらの意味は何ですか？私は次のことを知っています： σσ\sigmaセットに-代数ΩΩ\Omegaの部分集合の空でない集合されΩΩ\Omega含まΩΩ\Omega、補完下と可算組合の下で閉じています。 σσ\sigma代数を導入して、無限のサンプル空間に確率空間を構築します。特に、ΩΩ\Omegaが数え切れないほど無限である場合、測定不能なサブセット（確率を定義できないセット）が存在する可能性があることがわかります。したがって、私たちはただのパワーセットを使用することはできませんΩΩ\Omega P(Ω)P(Ω)\mathcal{P}(\Omega)イベントの私達のセットとしてFF\mathcal{F}。興味深いイベントの確率を定義できるように、まだ十分な大きさの小さなセットが必要です。また、一連のランダム変数の収束について話すことができます。 要するに、私はσの公正で直感的な理解を持っていると思う代数を。私はのための同様の理解がしたい σ -ランダム変数によって生成された代数：定義、我々は彼らを必要とする理由、直感、例を...σ−σ−\sigma-σ−σ−\sigma-

22 probability  random-variable  sigma-algebra 

ましょう確率変数与え、確率空間であると -代数条件付き期待値である新しいランダム変数を構築できます。（Ω 、F、μ ）(Ω,F,μ)(\Omega,\mathscr{F},\mu)ξ ：Ω → Rξ:Ω→R\xi:\Omega \to \mathbb{R}σ 、G ⊆ F E [ ξ | G ]σ\sigmaG⊆F\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] について考える直観は何ですか？以下の直感を理解しています。E [ ξ | G ]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] （i） ここで、はイベント（正の確率）です。E [ ξ | A ] E[ξ|A]E[\xi|A]AAA （ii） ここで、は離散確率変数です。E [ ξ | η ] E[ξ|η]E[\xi|\eta]ηη\eta しかし、視覚化することはできません。私はそれの数学を理解しており、視覚化できるより単純なケースを一般化するような方法で定義されていることを理解しています。しかし、それでも私はこの考え方が役に立つとは思いません。それは私にとって不思議なオブジェクトのままです。E [ ξ | G ]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] たとえば、をイベントとし。形成 -代数、によって生成された1。次いで、に等しくなるなら、そして等しいなら。換言すれば、であれば、及び if。μ …

20 probability  conditional-probability  conditional-expectation  conditioning  sigma-algebra 

離散確率変数によって生成された -algebras を除いて、条件付き期待値を計算する確率の本は実際には見たことがありません。彼らは単に、条件付き期待の存在とその特性を述べ、そのままにしておきます。私はこれを少し動揺させて、それを計算する方法を見つけようとしています。これが「あるべき」だと私は思います。σσ\sigma ましょう確率空間である A -代数。ましょう確率変数です。私たちの目標は、を計算することです。(Ω,F,μ)(Ω,F,μ)(\Omega, \mathscr{F},\mu)G⊆FG⊆F\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}σσ\sigmaξ:Ω→Rξ:Ω→R\xi:\Omega\to \mathbb{R}E[ξ|G]E[ξ|G]E[\xi|\mathscr{G}] 修正しますを計算する必要があります。LET、そのようなことが。直感では、はの値への近似値であるとされていますが、もちろんそのあると仮定します。ω∈Ωω∈Ω\omega\in \OmegaE[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[\xi|\mathscr{G}](\omega)A∈GA∈GA\in \mathscr{G}ω∈Aω∈A\omega\in AE[ξ|A]=1μ(A)∫AξE[ξ|A]=1μ(A)∫AξE[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xiE[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[\xi|\mathscr{G}](\omega)μ(A)≠0μ(A)≠0\mu(A) \not = 0 直感はまた、\ omega \ in Bで、より小さいイベント見つけることができ、\ mu（B）\ not = 0の場合、E [\ xi | B]はE [のより良い近似であると述べています\ mathscr {G}（\オメガ）| \ XIよりE [\ XI | A] 。B⊆AB⊆AB\subseteq Aω∈Bω∈B\omega\in Bμ(B)≠0μ(B)≠0\mu(B) \not = 0E[ξ|B]E[ξ|B]E[\xi|B]E[ξ|G](ω)E[ξ|G](ω)E[\xi|\mathscr{G}](\omega)E[ξ|A]E[ξ|A]E[\xi|A] したがって、E [\ xi …

8 probability  conditional-probability  conditional-expectation  conditioning  sigma-algebra