-algebrasの条件付き期待値の計算

離散確率変数によって生成された -algebras を除いて、条件付き期待値を計算する確率の本は実際には見たことがありません。彼らは単に、条件付き期待の存在とその特性を述べ、そのままにしておきます。私はこれを少し動揺させて、それを計算する方法を見つけようとしています。これが「あるべき」だと私は思います。 $\sigma$

ましょう確率空間である A -代数。ましょう確率変数です。私たちの目標は、を計算することです。 $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ $\sigma$ $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ $E[\xi|\mathscr{G}]$

修正しますを計算する必要があります。LET、そのようなことが。直感では、はの値への近似値であるとされていますが、もちろんそのあると仮定します。 $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $\mu(A) \not = 0$

直感はまた、で、より小さいイベント見つけることができ、場合、はより良い近似であると述べていますより。 $B\subseteq A$ $\omega\in B$ $\mu(B) \not = 0$ $E[\xi|B]$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|A]$

したがって、の最適なそのような近似は、である $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ 必要があります $E[\xi|M]$ ここで、 $M\in \mathscr{G}$ 、 $\omega\in M$ 、および最小プロパティ。ここでの最小のプロパティは、単純に $A\in \mathscr{G}$ と $\omega\in A$ 場合、 $M\subseteq A$ です。

しかし、2つの問題があります。

（i）そのようなは存在しますか？場合最も可算である、これは自明真実です。したがって、が実際に数えられると仮定しましょう。 $M$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{G}$

（ii）場合、は未定義です！この場合、およびような一連のイベントを生成できると想定し。 $\mu(M) = 0$ $E[\xi|M]$ $M_n\in \mathscr{G}$ $M_n \downarrow M$ $\mu(M_n) > 0$

直感によると、

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

現実性チェックとして、単調収束定理は暗示し測定の連続性は、意味しますしたがって、制限は不定形式 " "であり、これは私たちが欲しいものです。

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 = 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

1）この計算は条件付き期待値を正しく計算しますか？

2）これが成立する確率空間に関するいくつかの仮定は何ですか？

— ニコラ・ブルバキ
ソース

余談：シグマ代数が数えられないことはよく知られている定理であり、基本的に有限性を想定しているため、（i）にはいくつかの修正が必要です。

| G |

$|\mathcal{G}|$

— 枢機卿

@cardinal 単純なランダム変数によって生成された -algebraはカウント可能です。

σ

$\sigma$

— Nicolas Bourbaki

単純な確率変数の代数は有限になります。これは、前述の結果と協調して、（i）を大幅に簡略化します。

σ

$\sigma$

— 枢機卿

ボレルのパラドックスを見る必要があります

— kjetil b halvorsen 2017年

これは質問の答えにはなりませんが、一種の「反例」を提供します。正確ではありませんが、直感を使用して条件付き近似を近似するときに発生する可能性がある潜在的な問題に対処しています。

Brezniak著の本、「Basic Stochastic Processes」は、正式な定義を介して次の条件付き期待演習を計算します。元の投稿で尋ねられたように、「近似方法」を使用して彼の例をやり直しました。

次の例を考えてみましょう。と標準ルベーグ測定。 $\Omega = [0,1]$ $\mu$

確率変数を定義します。および。を計算します。所与、条件付き期待値に等しくあるべきである。ただし、イベントはセットであり、これはゼロの尺度であるため、は未定義です。 $\xi(\omega) = 2\omega^2$ $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ $E[\xi|\eta]$ $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\eta](\omega)$ $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ $(\eta = \eta(\omega))$ $\{ \omega,1-\omega\}$ $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$

したがって、イベントを概算します。小さい選択し、イベントます。イベントに近似し、を縮小すると、極限でに近づきます。さらに、です。 $A=\{\omega,1-\omega\}$ $\varepsilon > 0$ $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ $A_{\varepsilon}$ $A$ $A$ $\varepsilon$ $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$

制限内で、を計算しますしかし、これは間違った答えです！

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$

ただし、近似すると、これが正しい答えです！ $B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$

なぜ一方のアプローチが機能し、もう一方が機能しないのですか？明らかに、最初の近似では、近似集合はによって生成された -algebraに属していませんでした。2番目の近似では、近似セットは属していました。 $A_{\omega}$ $\sigma$ $\xi$ $B_{\omega}$ $\sigma(\xi)$

— ニコラ・ブルバキ
ソース