ランダム変数によって生成された

多くの場合、統計の（自己）研究の過程で、「$\sigma$ランダム変数によって生成される代数」という用語に出会いました。私はウィキペディアの定義を理解していませんが、最も重要なのは、その背後にある直感を理解していないことです。なぜ/ときに我々が必要なのです$\sigma-$ランダム変数によって生成された代数を？それらの意味は何ですか？私は次のことを知っています：

• $\sigma$セットに-代数$\Omega$の部分集合の空でない集合され$\Omega$含ま$\Omega$、補完下と可算組合の下で閉じています。
• $\sigma$代数を導入して、無限のサンプル空間に確率空間を構築します。特に、$\Omega$が数え切れないほど無限である場合、測定不能なサブセット（確率を定義できないセット）が存在する可能性があることがわかります。したがって、私たちはただのパワーセットを使用することはできません$\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$イベントの私達のセットとして$\mathcal{F}$。興味深いイベントの確率を定義できるように、まだ十分な大きさの小さなセットが必要です。また、一連のランダム変数の収束について話すことができます。

要するに、私はσの公正で直感的な理解を持っていると思う代数を。私はのための同様の理解がしたい σ -ランダム変数によって生成された代数：定義、我々は彼らを必要とする理由、直感、例を...$\sigma-$$\sigma-$

ランダム変数$X$考えます。$X$は$\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$から$\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$への測定可能な関数にすぎないことを知っています。ここで、$\mathcal{B}(\mathbb{R})$は実線のボレル集合です。測定可能性の定義により、我々は

しかし、実際には、ボレルセットのプリイメージは$\mathcal{A}$すべてではないかもしれませんが、その代わりに、はるかに粗いサブセットを構成する場合があります。これを見るために、定義しましょう

プリイメージのプロパティを使用して、$\mathcal{\Sigma}$がシグマ代数であることを示すことはそれほど難しくありません。また、そのすぐ次$\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$、したがって$\mathcal{\Sigma}$サブシグマ代数です。さらに、定義により、マッピング$X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$が測定可能であることが簡単にわかります。 $\mathcal{\Sigma}$は実際、$X$をランダム変数にする最小のシグマ代数であり、その種の他のすべてのシグマ代数には少なくともΣが含まれます。$\mathcal{\Sigma}$. For the reason that we are dealing with preimages of the random variable $X$, we call $\mathcal{\Sigma}$ the sigma-algebra induced by the random variable $X$.

Here is an extreme example: consider a constant random variable $X$, that is, $X(\omega) \equiv \alpha$. Then $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ equals either $\Omega$ or $\varnothing$ depending on whether $\alpha \in B$. The sigma-algebra thus generated is trivial and as such, it is definitely included in $\mathcal{A}$.

Hope this helps.