タグ付けされた質問 「jacobian」

次の文が正しいことを確認する最も簡単な方法は何ですか？ と仮定し。表示。Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)∑ni=1(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1) ことに注意してください。Y(1)=min1≤i≤nYiY(1)=min1≤i≤nYiY_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i X∼Exp(β)X∼Exp(β)X \sim \text{Exp}(\beta)、この手段そのfX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}}。 Y _ {（1）} \ sim \ text {Exponential}（1 / n）であることが簡単にわかりますY(1)∼Exponential(1/n)Y(1)∼Exponential(1/n)Y_{(1)} \sim \text{Exponential}(1/n)。さらに、パラメータ化f_ {Y}（y）= \ dfrac {の下に \ sum_ {i = 1} ^ {n} …

18 self-study  distributions  exponential  order-statistics  jacobian 

本のパターン認識と機械学習（式1.27）では、 py(y)=px(x)∣∣∣dxdy∣∣∣=px(g(y))|g′(y)|py(y)=px(x)|dxdy|=px(g(y))|g′(y)|p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) | ここで、x=g(y)x=g(y)x=g(y)、px(x)px(x)p_x(x)は、変数の変化に関して対応するpdfpy(y)py(y)p_y(y)です。 書籍は、その観察が範囲に入るので、それがだと言う、の値が小さいためであろうδ X、範囲に変換する（Y 、Y + δ Y ）。(x,x+δx)(x,x+δx)(x, x + \delta x)δxδx\delta x(y,y+δy)(y,y+δy)(y, y + \delta y) これは正式にどのように導出されますか？ Dilip Sarwateからの更新 結果は、が厳密に単調な増加または減少関数である場合にのみ保持されます。ggg LV Raoの回答にいくつかのマイナーな編集 場合したがってGP(Y≤y)=P(g(X)≤y)={P(X≤g−1(y)),P(X≥g−1(y)),if g is monotonically increasingif g is monotonically decreasingP(Y≤y)=P(g(X)≤y)={P(X≤g−1(y)),if g is monotonically increasingP(X≥g−1(y)),if g is …

15 machine-learning  probability  self-study  derivative  jacobian 

数年前に私たちの大学の学期試験で出てきた問題を解決しようとしています。 場合独立している密度を有するランダム変数とをそれぞれその表示以下の。X1,X2X1,X2X_1,X_2ββ\betaβ(n1,n2)β(n1,n2)\beta(n_1,n_2)β(n1+12,n2)β(n1+12,n2)\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)X1X2−−−−−√X1X2\sqrt{X_1X_2}β(2n1,2n2)β(2n1,2n2)\beta(2n_1,2n_2) ヤコビアン法を使用して、の密度が次のようになることを確認しました： Y=X1X2−−−−−√Y=X1X2Y=\sqrt{X_1X_2}fY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫1y1x2(1−x2)n2−1(1−y2x2)n2−1dxfY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫y11x2(1−x2)n2−1(1−y2x2)n2−1dxf_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx この時点で私は実際に迷っています。さて、メインの論文で、ヒントが提供されていました。ヒントを使ってみましたが、希望の表現が得られませんでした。ヒントは次のとおり逐語的です。 ヒント：と与えられた密度の観点からの密度の式を導き出し、で変数の変更を使用してみます。Y=X1X2−−−−−√Y=X1X2Y=\sqrt{X_1X_2}X1X1X_1X2X2X_2z=y2xz=y2xz=\dfrac{y^2}{x} したがって、この時点で、この変数の変更を考慮して、このヒントを利用しようとします。したがって、簡略化後、（を書き込む）fY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫yy2z2y4(1−y4z2)n2−1(1−y2.z2y4)n2−1y2z2dzfY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫y2yz2y4(1−y4z2)n2−1(1−y2.z2y4)n2−1y2z2dzf_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dzxxxzzzfY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫yy21y2(1−y4x2)n2−1(1−x2y2)n2−1dxfY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)∫y2y1y2(1−y4x2)n2−1(1−x2y2)n2−1dxf_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx どうすればいいのか分かりません。ヒントを適切に解釈しているかどうかさえわかりません。とにかく、残りのヒントを次に示します。 変数の変更を使用することで、平均化することで、必要な密度を2つの方法で表すことができます。今への統合の範囲を分割し、、書き込みおよび。z=y2xz=y2xz=\dfrac{y^2}{x}fY(y)=constant.y2n1−1∫1y2(1−y2x)n2−1(1−x)n2−1(1+yx)1x−−√dxfY(y)=constant.y2n1−1∫y21(1−y2x)n2−1(1−x)n2−1(1+yx)1xdxf_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx(y2,y)(y2,y)(y^2,y)(y,1)(y,1)(y,1)(1−y2x)(1−x)=(1−y)2−(yx−−√−x−−√)2(1−y2x)(1−x)=(1−y)2−(yx−x)2(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2u=yx−−√−x−−√u=yx−xu=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x} まあ、正直なところ、私はこれらのヒントの使い方を理解できません。助けていただければ幸いです。前もって感謝します。

9 self-study  random-variable  beta-distribution  distributions  jacobian