確率密度関数の変数の変化の導出？

本のパターン認識と機械学習（式1.27）では、

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ ここで、$x=g(y)$、$p_x(x)$は、変数の変化に関して対応するpdf$p_y(y)$です。

書籍は、その観察が範囲に入るので、それがだと言う、の値が小さいためであろうδ X、範囲に変換する（Y 、Y + δ Y ）。$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$

これは正式にどのように導出されますか？

---

Dilip Sarwateからの更新

結果は、が厳密に単調な増加または減少関数である場合にのみ保持されます。$g$

---

LV Raoの回答にいくつかのマイナーな編集 場合したがって

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$単調増加している F Y（Y ）= F Xを（G - 1（Y ））⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ 単調減少であれば FY（Y）=1-FX（G-1（Y））FY（Y）=-FX（G-1（Y））⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ ∴FY（Y）=FX（G-1（Y））⋅| $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$