が独立したベータの場合もベータであることを示します

数年前に私たちの大学の学期試験で出てきた問題を解決しようとしています。

場合独立している密度を有するランダム変数とをそれぞれその表示以下の。 $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

ヤコビアン法を使用して、の密度が次のようになることを確認しました： $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

この時点で私は実際に迷っています。さて、メインの論文で、ヒントが提供されていました。ヒントを使ってみましたが、希望の表現が得られませんでした。ヒントは次のとおり逐語的です。

ヒント：と与えられた密度の観点からの密度の式を導き出し、で変数の変更を使用してみます。 $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

したがって、この時点で、この変数の変更を考慮して、このヒントを利用しようとします。したがって、簡略化後、（を書き込む）

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

どうすればいいのか分かりません。ヒントを適切に解釈しているかどうかさえわかりません。とにかく、残りのヒントを次に示します。

変数の変更を使用することで、平均化することで、必要な密度を2つの方法で表すことができます。今への統合の範囲を分割し、、書き込みおよび。 $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

まあ、正直なところ、私はこれらのヒントの使い方を理解できません。助けていただければ幸いです。前もって感謝します。

— ランドン・カーター
ソース

以前にいくつかの参照をコンパイルした前に、同様の問題が発生しました。arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/を

— Sid

@シド申し訳ありませんが、これらの参照または類似のものでこの問題を見つけることができませんでした。場所を教えてください。ありがとう!!

— Landon Carter

ヤコビアン法を正しく適用しましたか？実行すると、倍加も必要になると思います式参照en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

どうやら式は同じようです。多分あなたは私のものを得るためにあなたの公式で変数の変更を使わなければならない。私はヤコビアンについて話している。

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter

同じだとは思いません。あなたが私の公式に言及した変数の変更を行うと、私はあなたのOPの最初の積分にあるものよりも少し単純なものを取得します。

— StijnDeVuyst 2015年

これを、モーメント生成関数を使用して別の方法で証明します。または同等に、ことを示すことによっての瞬間番目に等しいランダム変数のモーメント番目と分布。これがすべてのについてそうである場合、モーメント問題の強さによって、運動が証明されます。 $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

最後の部分のために、我々はから入手http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments ことの瞬間番目のある最初の部分については、次の $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ 今残っているのは、定義、次に2倍算式。その後、最初の部分と2番目の部分はまったく同じであることがわかります。

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
ソース

モーメントの平等は分布の平等を意味するとは言えません。これが成り立たない例があります。

— Landon Carter

StijnDeVuyst、申し訳ありませんが、これは許容できる回答ではありません。モーメントは等しいが、分布が同じではない例があります。例は少し複雑ですが。残念ながら、私には今の例はありません。それはまた一学期の試験で来ました。しかし、興味があればすぐにこのスレッドに例を掲載します。とにかく私は自分で問題を解決しました。ご協力いただきありがとうございます。

— Landon Carter

@yedaynaraとStijn：（the？）古典的な例はによるものです：をここで、はpdf標準の対数正規および。このディストリビューションのファミリーのすべてのメンバーは、（すべての注文の）同じ瞬間を持っています。標準の対数正規はこのファミリーのメンバーであり、その瞬間は素敵な閉じた形を持っていることに注意してください。

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— 枢機卿

ただし、分布の一意性を保証する瞬間には追加の条件（たとえば、Carleman's）があります。これはハンバーガーモーメント問題として知られています。

— 枢機卿

web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/…からの引用"...有限のサポートを備えた正の測度がそのモーメントによって一意に決定されることを検証するのは初等線形代数です..."これにより、 OPのベータ分布のM決定性のカールマン条件。@cardinalとyedaynaraはどちらも正しいので、私はこれを想定するのが速すぎました。しかし、どうやら有限サポートはその日を救うものです。

— StijnDeVuyst 2015年