誰かがPTLOS演習4.1を解決しましたか？
これは、2003年のエドウィンジェインズによる確率理論：科学の論理で与えられた演習です。ここには部分的な解決策があります。私はより一般的な部分的な解決策を考え出しましたが、他の誰かがそれを解決したかどうか疑問に思っていました。答えを投稿する前に少し待って、他の人に試してもらいます。 さて、H iで示される相互排他的で網羅的なnnn仮説があると仮定します。Hi(i=1,…,n)Hi(i=1,…,n)H_i \;\;(i=1,\dots,n)。さらに、 D jで示されるmmmデータセットがあるとしますDj(j=1,…,m)Dj(j=1,…,m)D_j \;\;(j=1,\dots,m)。i番目の仮説の尤度比は次の式で与えられます。 LR(Hi)=P(D1D2…,Dm|Hi)P(D1D2…,Dm|H¯¯¯¯¯i)LR(Hi)=P(D1D2…,Dm|Hi)P(D1D2…,Dm|H¯i)LR(H_{i})=\frac{P(D_{1}D_{2}\dots,D_{m}|H_{i})}{P(D_{1}D_{2}\dots,D_{m}|\overline{H}_{i})} これらは条件付き確率であることに注意してください。i番目の仮説が与えられた場合HiHiH_{i}、mmmデータセットが独立していると仮定します。 P(D1D2…,Dm|Hi)=∏j=1mP(Dj|Hi)(i=1,…,n)Condition 1P(D1D2…,Dm|Hi)=∏j=1mP(Dj|Hi)(i=1,…,n)Condition 1P(D_{1}D_{2}\dots,D_{m}|H_{i})=\prod_{j=1}^{m}P(D_{j}|H_{i}) \;\;\;\; (i=1,\dots,n)\;\;\;\text{Condition 1} ここで、分母もこの状況を考慮に入れれば非常に便利になります。 P(D1D2…,Dm|H¯¯¯¯¯i)=∏j=1mP(Dj|H¯¯¯¯¯i)(i=1,…,n)Condition 2P(D1D2…,Dm|H¯i)=∏j=1mP(Dj|H¯i)(i=1,…,n)Condition 2P(D_{1}D_{2}\dots,D_{m}|\overline{H}_{i})=\prod_{j=1}^{m}P(D_{j}|\overline{H}_{i}) \;\;\;\; (i=1,\dots,n)\;\;\;\text{Condition 2} この場合、尤度比は各データセットのより小さい係数の積に分割されるため、次のようになります。 LR(Hi)=∏j=1mP(Dj|Hi)P(Dj|H¯¯¯¯¯i)LR(Hi)=∏j=1mP(Dj|Hi)P(Dj|H¯i)LR(H_i)=\prod_{j=1}^{m}\frac{P(D_{j}|H_{i})}{P(D_{j}|\overline{H}_{i})} したがって、この場合、各データセットのだろう「のための投票HiHiH_i」または「反対票HiHiH_i」独立して、他のデータセットの。 演習では、n>2n>2n>2（2つ以上の仮説）の場合、この因数分解が発生するような非自明な方法がないことを証明します。つまり、条件1と条件2が成立すると仮定すると、最大で1つの要因 1と異なっているので、1つだけのデータセットは、尤度比に寄与する。P(D1|Hi)P(D1|H¯¯¯¯¯i)P(D2|Hi)P(D2|H¯¯¯¯¯i)…P(Dm|Hi)P(Dm|H¯¯¯¯¯i)P(D1|Hi)P(D1|H¯i)P(D2|Hi)P(D2|H¯i)…P(Dm|Hi)P(Dm|H¯i)\frac{P(D_{1}|H_{i})}{P(D_{1}|\overline{H}_{i})}\frac{P(D_{2}|H_{i})}{P(D_{2}|\overline{H}_{i})}\dots\frac{P(D_{m}|H_{i})}{P(D_{m}|\overline{H}_{i})} 個人的には、この結果は非常に魅力的でした。なぜなら、複数の仮説検定は一連のバイナリ仮説検定に他ならないことを基本的に示しているからです。