タグ付けされた質問 「dtft」

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単位ステップシーケンス
この質問は私のもう1つの私の質問に関連しています。ここで、単位ステップシーケンスの離散時間フーリエ変換(DTFT)の導出を求めます。派生物の検索中に、驚くほど簡単なものを見つけました。BA Shenoiのこの本の138ページで初めて見ました。私はまた、mathematics.SEでこの答えに出くわしました。u[n]u[n]u[n] 引数は短く単純なので、便宜上ここで繰り返します。 単位ステップシーケンスは、u [ n ] = f [ n ] + 1として記述できます。 、 f[n]={ 1u[n]=f[n]+12(1)(1)u[n]=f[n]+12u[n]=f[n]+\frac12\tag{1} 明らかに、 F[N]-、F[N-1]=δ[N] の両面の両方にDTFTを適用する(3)が得られる Fを(ω)(1-E-Jω)=1 ここで、F(ω)は、f[n]のDTFTです。(4)私たちが得ます f[n]={12,n≥0−12,n&lt;0(2)(2)f[n]={12,n≥0−12,n&lt;0f[n]=\begin{cases}\frac12,\quad n\ge 0\\-\frac12,\quad n<0\end{cases}\tag{2}f[n]−f[n−1]=δ[n](3)(3)f[n]−f[n−1]=δ[n]f[n]-f[n-1]=\delta[n]\tag{3}(3)(3)(3)F(ω)(1−e−jω)=1(4)(4)F(ω)(1−e−jω)=1F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{4}F(ω)F(ω)F(\omega)f[n]f[n]f[n](4)(4)(4) から(5)及び(1)我々はDTFTのために取得U[N]U(ω)=F(ω)+πδ(ω)=1F(ω)=11−e−jω(5)(5)F(ω)=11−e−jωF(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{5}(5)(5)(5)(1)(1)(1)u[n]u[n]u[n] どこで使用したDTFT{1}=2πδ(ω)、-π≤ω&lt;π。U(ω)=F(ω)+πδ(ω)=11−e−jω+πδ(ω),−π≤ω&lt;π(6)(6)U(ω)=F(ω)+πδ(ω)=11−e−jω+πδ(ω),−π≤ω&lt;πU(\omega)=F(\omega)+\pi\delta(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega),\quad -\pi\le\omega <\pi\tag{6}DTFT{1}=2πδ(ω)DTFT{1}=2πδ(ω)\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)−π≤ω&lt;π−π≤ω&lt;π-\pi\le\omega <\pi Eq。u [ n ]の DTFTは間違いなく正しいです。ただし、派生には欠陥があります。(6)(6)(6)u[n]u[n]u[n] 問題は、上記の派生の欠陥を見つけて説明することです。 回答の前にスポイラータグを付けてください&gt;!。

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単位ステップシーケンス
教科書から、 DTFTはu[n]u[n]u[n]、 U(ω)=πδ(ω)+11−e−jω,−π≤ω&lt;π(1)(1)U(ω)=πδ(ω)+11−e−jω,−π≤ω&lt;πU(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1} ただし、多少の派生を与えるふりをするDSPの教科書を見たことはありません(1)(1)(1)。 Proakisは[1]の右側の右半分の導出(1)(1)(1)設定することにより、z=ejωz=ejωz=e^{j\omega}でZZ\mathcal{Z}の-transform u[n]u[n]u[n]、及びそれが以外有効であることを言うω=2πkω=2πk\omega=2\pi k(もちろん正しいです)。次に、ZZ\mathcal{Z}変換の極で、面積がデルタインパルスを追加する必要ππ\piがあると述べていますが、それは私にとって、他の何よりもレシピのように見えます。 オッペンハイムとシェーファー[2]この文脈での言及 完全に簡単に示すことはできませんが、このシーケンスは次のフーリエ変換で表すことができます。 相当する式が続き(1)(1)(1)ます。残念ながら、彼らは「完全に単純ではない」証明を私たちに示すのに苦労しませんでした。 私が実際に知らなかったが、証明を探しているときに見つけた本(1)(1)(1)は、BA Shenoiによるデジタル信号処理とフィルター設計の紹介です。上のページ138そこの「派生」だ(1)(1)(1)が、残念ながらそれは間違っています。「DSPパズル」の質問をして、その証明の何が悪いのかを人々に見せてもらいました。] だから私の質問は: 数学的な傾向のあるエンジニアがアクセスできる一方で、証明/導出(1)(1)(1)は健全であるか、さらには厳密である可能性がありますか?本からコピーしただけでもかまいません。とにかくこのサイトに載せておくといいと思います。 math.SEであっても、関連するものはほとんどないことに注意してください。この質問には回答がありません。1つは2つの回答を持ち、1つは間違っており(Shenoiの主張と同じ)、もう1つは「蓄積プロパティ」を使用します。 、私は満足していますが、そのプロパティを証明する必要があります。これにより、最初に戻ります(両方の証明は基本的に同じことを証明するため)。 最後のメモとして、私は証明のようなものを思いつきました(まあ、私はエンジニアです)、また数日後に回答として投稿しますが、他の公開または非公開の証明を収集させていただきますシンプルでエレガントであり、最も重要なのは、DSPエンジニアがアクセスできることです。 PS:妥当性を疑うことはありません(1)(1)(1)。1つまたはいくつかの比較的単純な証明が欲しいだけです。 [1] Proakis、JGおよびDG Manolakis、デジタル信号処理:原則、アルゴリズム、およびアプリケーション、第3版、セクション4.2.8 [2] Oppenheim、AVおよびRW Schafer、離散時間信号処理、第2版、p。54。 MarcusMüllerのコメントに触発されて、式(1 )で与えられたを示したいと思います。(1 )要件を満たしているU(ω)U(ω)U(\omega)(1)(1)(1) u[n]=u2[n]→U(ω)=12π(U⋆U)(ω)u[n]=u2[n]→U(ω)=12π(U⋆U)(ω)u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega) 場合のDTFTあるU [ N ]、次いでU(ω)U(ω)U(\omega)u[n]u[n]u[n] V(ω)=11−e−jωV(ω)=11−e−jωV(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}} のDTFTでなければなりません v[n]=12sign[n]v[n]=12sign[n]v[n]=\frac12\text{sign}[n] (ここで、記号[ 0 ] = 1を定義しますsign[0]=1sign[0]=1\text{sign}[0]=1)、なぜなら V(ω)=U(ω)−πδ(ω)⟺u[n]−12=12sign[n]V(ω)=U(ω)−πδ(ω)⟺u[n]−12=12sign[n]V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n] だから私たちは 12π(V⋆V)(ω)⟺(12sign[n])2=1412π(V⋆V)(ω)⟺(12sign[n])2=14\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14 …
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