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双一次変換の使用から生じる数学的な質問
これはクックブックに関連しているので、おそらく20年前に解決しようとしましたが、あきらめ、未解決の問題を思い出しました。しかし、それはかなりまっすぐ進むのですが、私はまだ泥に詰まっています。 これは、共振周波数を持つ単純なバンドパスフィルター（BPF）です。 Ω0Ω0\Omega_0と共振：QQQ H(s)=1QsΩ0(sΩ0)2+1QsΩ0+1H(s)=1QsΩ0(sΩ0)2+1QsΩ0+1 H(s) = \frac{\frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0}}{\left(\frac{s}{\Omega_0}\right)^2 + \frac{1}{Q}\frac{s}{\Omega_0} + 1} 共振周波数で |H(jΩ)|≤H(jΩ0)=1|H(jΩ)|≤H(jΩ0)=1 |H(j\Omega)| \le H(j\Omega_0) = 1 上部と下部のバンドエッジは次のように定義されています |H(jΩU)|2=∣∣H(jΩ02BW/2)∣∣2=12|H(jΩU)|2=|H(jΩ02BW/2)|2=12 |H(j\Omega_U)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12 |H(jΩL)|2=∣∣H(jΩ02−BW/2)∣∣2=12|H(jΩL)|2=|H(jΩ02−BW/2)|2=12 |H(j\Omega_L)|^2 = \left|H\left(j\Omega_0 2^{-BW/2} \right)\right|^2 = \tfrac12 これらを「ハーフパワーバンドエッジ」と呼びます。私たちはオーディオなので、オクターブ単位で帯域幅を定義し、アナログの世界では、オクターブ単位のこの帯域幅BWBWBWはQに関連しています。QQQようにます。 1Q=2BW−12BW−−−−√=2sinh(ln(2)2BW)1Q=2BW−12BW=2sinh(ln(2)2BW) \frac{1}{Q} = \frac{2^{BW} - 1}{\sqrt{2^{BW}}} = 2 \sinh\left( \tfrac{\ln(2)}{2} BW \right) マップする双線形変換（事前にワープした共振周波数）を使用しています。 sΩ0jΩΩ0←1tan(ω0/2)1−z−11+z−1←jtan(ω/2)tan(ω0/2)sΩ0←1tan(ω0/2)1−z−11+z−1jΩΩ0←jtan(ω/2)tan(ω0/2)\begin{align} …