1次ローパスフィルター

1次ローパスフィルターをよりよく理解しようとしています。

まとめ：

ウィキペディアによると、1次ローパスフィルターは次の結果を離散時間で生成します。 は生成します または

$$\frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$$ $$y[k] = \left(\frac{\omega_c T_{s}}{1+\omega_{c} T_{s}} \right) u[k]+\left(\frac{1}{1+\omega_c T_{s}}\right) y[k-1]$$ $$y[k] =\alpha \, u[k] \ + \ (1 - \alpha)y[k-1]$$

どこ

$\begin{array}{cclc} \omega_{c} &:& \text{Cutoff angular frequency of filter} & [\frac{rad}{s}] \\ T_{s} &:& \text{Sampling period} & [s] \\ \end{array}$

質問1：

このフィルターは離散時間ですが、それでもアナログ（平面）フィルターをモデル化しますか？$s$

• ディスクリートコンピューティングシステムを使用してリアルタイムでフィルタリングし
  たい場合、同等のデジタル（平面）を使用する必要がありますか？ $z$
• もしそうなら、これを実行するための一般的なプロセスは何ですか？
  私の推測は：
  1. デジタルカットオフ周波数決定します。$\omega_d$
  2. アナログカットオフ周波数に変換。$\omega_a = \frac{2}{T} \cdot \mathrm{tan}(\omega_d \cdot \frac{T}{2})$
  3. 
     アナログカットオフ周波数を使用して、（1次ローパス）アナログフィルターの伝達関数を決定します。$\omega_a$
  4. 
     双線形変換を使用してデジタルフィルターの伝達関数に変換$z = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}$

指数平滑法との関係：

同じページで、指数平滑法が参照されています。指数平滑ページのように指数加重平均を記載している：

$$y[k] =\alpha u[k]+\left(1 - \alpha\right)y[k-1]\quad\text{where}\quad\alpha = 1 - e^{-\omega_{c} \cdot T_{s}}$$

質問2：

1次ローパスフィルターアルファ
を指数平滑化アルファに関連付けるにはどうすればよいですか？

最初の質問に答えるには、はい、信号をZ平面に変換する必要があります。双一次変換は、目的の結果を得る1つの方法です。インパルス不変変換を試して、アナログフィルターをデジタルフィルターに変換することもできます。

もちろんデジタル領域のフィルターはアナログ領域に対応しています。ただし、アナログドメインの動作は、周波数ワーピングのため、バイリニア変換を介して対応するアナログフィルターとは異なります。信号が無限周波数に近づくのではなく、ナイキスト周波数に近づくと、減衰はになります。$-\infty$

最初の質問への回答として、必ずしも信号をzドメインに変換する必要はありませんが、おそらくそれが最も一般的なことです。1つの選択肢は、フィルターの離散化周波数応答を計算し、入力信号のDFT（FFT）を乗算してから、逆DFT（FFT）を取ることです。特にフィルターパラメーターが変更された場合に、安定性を確保するために、2つ以上のオーダーのフィルター用のオーディオプラグインでこれを頻繁に行います。