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の形式の初期値問題があるとします whereは正確に（つまり無制限の精度で）既知であり、を効率的に評価できますを任意の精度に。つまり、ベクトルと整数与えられると、正しいことが保証された近似値を返すブラックボックスがあります。の時間多項式の桁。の近似値を取得するための実用的な方法があるかどうか知りたいX 0 ∈ R N F ：R N → R nはX ∈ R nは M 、F （X）M M X（TとF）d xDトン= f（x）x（0）= x0dxdt=f(x)x(0)=x0 \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t} = f(\mathbf{x}) \qquad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0 バツ0∈ Rんx0∈Rn\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^nf：Rん→ Rんf:Rn→Rnf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^nX ∈ Rんx∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nMMMf（x）f(x)f(\mathbf{x})MMMMMMx（ tf）x(tf)\mathbf{x}(t_f)（ここでは特定の最終時間です）は、桁に間違いなく正しいです。Ntf∈ Rtf∈Rt_f \in \mathbb{R}NNN 明らかに、これはただの関数のために行うことはできませんあるため、大幅に変更され、真の解決策はなく、中にピックアップされていないことをいくつかのクレイジーな行動を持っているかもしれません評価の妥当な数。したがって、これを行うには、のどのような良好な動作条件（たとえば、すべての偏導関数が存在し、制限されているか、小さなリプシッツ定数など）が必要であることを知りたいと思っています。 f …

8 numerical-analysis  ode  precision 

Mathematica.seをさまよいながら、ある種の微分方程式を解く問題が常に私たちを「悩ませている」、つまり非線形常微分方程式（ODE）の境界値問題（BVP）に徐々に気づきました。 撮影方法で使用され、Mathematicaの機能はNDSolve、Mathematica.SEのユーザーが知っていることを唯一の方法であると思われます。時々それはうまくいきますが、多くの場合（私の個人的な感情によると）、適切な初期推測を見つけるのは苦痛です。 多くの場合、適切な推測を見つけることができません。ここに私がこの質問を投稿させた例があります。 では、シューティング法は、非線形ODEのBVPを解くための唯一の一般的な数値法ですか？ もしそうなら、適切な初期推測を得るための良い方法はありますか？ そうでない場合、代替手段は何ですか？可能であれば、これらの代替案を実装する既存のソルバーの紹介またはリンクを提供してください。

8 ode  nonlinear-equations 

私の現在のプロジェクトは、C ++での何千ものODEのソリューションを含むタンパク質フォールディングモデルの再プログラミングです。完全にGPUで実行するソルバーを作成しているので、私はいくつかの停止と開始を進めてきました。ようやく統合しましたが、固定ステップサイズh = .001のRKF45アルゴリズムの5次解を使用してdC / dt = -Cを解こうとすると、e ^ {-tの計算値から決定が得られます}は、10 ^ {-12}程度のグローバルエラーが予想される場合、10 ^ {-4}程度です。 これが発生しているのは、適応ステップサイズと4次と5次の両方のソリューションを使用したエラー制御を使用していないためですか？私の考えは、適応アルゴリズムは4次と5次の違いを推測し、基本的には5次を「正しい答え」として扱うため、その答えを使用してインテグレーターを試してみるというものでした。 編集： それ以来 グローバルエラー=（ポイント数）*（ローカルエラー） そして ローカルエラー= h ^ O ここで、hはステップサイズ、Oは次数です、私は計算します O = ln（グローバルエラー/ポイント数）/ ln h 私が正しいと思う方法と回答で提案された方法の両方で次数分析を行うと、次の結果が得られます。 Number of Points h Global Error My Way The Answer's Way 10 0.1 2.89E-06 6.539E+00 20 0.05 7.09E-08 6.495E+00 5.350E+00 …

8 ode  c++  time-integration  cuda  runge-kutta 

円形の制限された3体問題を解決する際に、困難な方程式に遭遇しました。[オブジェクトは、2Dスペースに固定された2つの重力ソースによって引き起こされる重力の影響を考慮して移動しています。] 方程式は次のとおりです。 バツ」= − G M1（x − x1）（x − x1）2+ y2√３− − G M2（x − x2）（x − x2）2+ y2√３バツ″=−GM1（バツ−バツ1）（バツ−バツ1）2+y2３−−GM2（バツ−バツ2）（バツ−バツ2）2+y2３x''=-\frac{GM_1 (x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 (x-x_2)}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3} y」= − G M1y（x − x1）2+ y2√３− − G M2y（x − x2）2+ y2√３y″=−GM1y（バツ−バツ1）2+y2３−−GM2y（バツ−バツ2）2+y2３y''=-\frac{GM_1 y}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 y}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3} オイラー法もルンゲクッタもまたは付近のプロパティが適切でないため機能しません。デリバティブの変化が速すぎます。シミュレーションは正しく解決できません。オブジェクトが重力ソースにぶつかるのは簡単すぎます。（x1、0 ）（バツ1、0）(x_1, 0)（x1、0 ）（バツ1、0）(x_1, 0) どうすれば修正できますか？ ありがとうございました！

8 ode  simulation 

私が解決したいレーン・エムデン等温式[PDF、EQを。15.2.9] d2ψdξ2+2ξdψdξ=e−ψd2ψdξ2+2ξdψdξ=e−ψ\frac{d^2 \!\psi}{d \xi^2} + \frac{2}{\xi} \frac{d \psi}{d \xi} = e^{-\psi} 初期状態で ψ(ξ=0)=0dψdξ∣∣∣ξ=0=0ψ(ξ=0)=0dψdξ|ξ=0=0\psi(\xi = 0) = 0 \quad \left.\frac{d\psi}{d \xi}\right|_{\xi = 0} = 0 SciPyodeint()を使用していますが、ご覧のように、方程式は原点で特異です。ドキュメントには、ODEPACKを使用することが記載されています。 私はすでにの近傍における溶液の級数知っξ=0ξ=0\xi = 0（REFを）： ψ(ξ)≃ξ26−ξ4120+ξ61890ψ(ξ)≃ξ26−ξ4120+ξ61890\psi(\xi) \simeq \frac{\xi^2}{6} - \frac{\xi^4}{120} + \frac{\xi^6}{1890} に設定しようとしtcritましたnp.array([0.0])が、機能しませんでした。無効な値に関する警告が表示され、私の解決策はすべてNaNです。たぶん0.01から統合するべきでしょうか？または他の解決策はありますか？

8 python  ode