シューティング法は、非線形境界値ODEを解くための唯一の一般的な数値法ですか？

Mathematica.seをさまよいながら、ある種の微分方程式を解く問題が常に私たちを「悩ませている」、つまり非線形常微分方程式（ODE）の境界値問題（BVP）に徐々に気づきました。

撮影方法で使用され、Mathematicaの機能はNDSolve、Mathematica.SEのユーザーが知っていることを唯一の方法であると思われます。時々それはうまくいきますが、多くの場合（私の個人的な感情によると）、適切な初期推測を見つけるのは苦痛です。

多くの場合、適切な推測を見つけることができません。ここに私がこの質問を投稿させた例があります。

では、シューティング法は、非線形ODEのBVPを解くための唯一の一般的な数値法ですか？

もしそうなら、適切な初期推測を得るための良い方法はありますか？

そうでない場合、代替手段は何ですか？可能であれば、これらの代替案を実装する既存のソルバーの紹介またはリンクを提供してください。

シューティング法は、非線形ODEのBVPを解くための唯一の一般的な数値法ですか？

番号。

他のほとんどのメソッドは、3つの部分で構成されています。

1. 離散化。これは、有限差分、有限体積、有限要素（Galerkinまたはコロケーション）、スペクトル法などで実行できます。これにより、問題が無限次元の問題から非線形代数方程式の有限次元システムに減少します。
2. 非線形ソルバー。通常、これはニュートンタイプの方法です。つまり、問題を局所的に線形化して更新を計算します。これにより、問題が一連の線形代数システムに削減されます。
3. 線形ソルバー。

射撃とは異なり、これらの方法は高次元の楕円問題に簡単に一般化できます。数値解法の入門書を読むと、この種の方法の説明が見つかります。既存のソルバーについては、MATLABなどを参照してくださいbvp4c。

これらのメソッドはまだ初期推測を必要とします。適切な初期推測は通常、問題に固有の洞察に基づいています。私は、任意のBVPの適切な初期推測を見つけるための一般的な手法はないと考えています。非線形BVPには複数のソリューションがあり、どのソリューションを取得するかは最初の推測に依存することに注意してください。

いいえそうではありません。もあります

• 複数撮影
• コロケーション
• 有限差分
• 固定小数点反復

そしておそらくもう少し。