SciPy odeint / ODEPACKによる非線形特異ODEの解法

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私が解決したいレーン・エムデン等温式[PDF、EQを。15.2.9]

\frac{d^{2} ψ}{d ξ^{2}} + \frac{2}{ξ} \frac{d ψ}{d ξ} = e^{- ψ}

$\frac{d^2 \!\psi}{d \xi^2} + \frac{2}{\xi} \frac{d \psi}{d \xi} = e^{-\psi}$

初期状態で

ψ (ξ = 0) = 0 {\frac{d ψ}{d ξ} |}_{ξ = 0} = 0

$\psi(\xi = 0) = 0 \quad \left.\frac{d\psi}{d \xi}\right|_{\xi = 0} = 0$

SciPyodeint()を使用していますが、ご覧のように、方程式は原点で特異です。ドキュメントには、ODEPACKを使用することが記載されています。

私はすでにの近傍における溶液の級数知っ $\xi = 0$ （REFを）：

ψ (ξ) ≃ \frac{ξ^{2}}{6} - \frac{ξ^{4}}{120} + \frac{ξ^{6}}{1890}

$\psi(\xi) \simeq \frac{\xi^2}{6} - \frac{\xi^4}{120} + \frac{\xi^6}{1890}$

に設定しようとしtcritましたnp.array([0.0])が、機能しませんでした。無効な値に関する警告が表示され、私の解決策はすべてNaNです。たぶん0.01から統合するべきでしょうか？または他の解決策はありますか？

python ode

— アストロフアンル
ソース

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

1

ξ

$\xi$

t

$t$

ξ

$\xi$

7

わかりました、この答えは暗闇の中でのショットですが、ここに行きます。

最初に、2次のODEを2つのODEのシステムに変換します。しましょう

\begin{aligned} φ_{1} & = ψ, \\ φ_{2} & = \dot{ψ}, \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{1} &= \psi, \\ \varphi_{2} &= \dot{\psi}, \end{align}$

$\xi$

次に、2次の陰的ODE

\begin{aligned} \ddot{ψ} (ξ) + 2 ξ^{- 1} \dot{ψ} (ξ) & = e^{- ψ (ξ)} \\ ψ (0) & = 0 \\ \dot{ψ} (0) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \ddot{\psi}(\xi) + 2\xi^{-1}\dot{\psi}(\xi) &= e^{-\psi(\xi)} \\ \psi(0) &= 0 \\ \dot{\psi}(0) &= 0 \end{align}$

1次の明示的なODEとして表すことができます

\begin{aligned} {\dot{φ}}_{1} (ξ) & = φ_{2} (ξ) \\ {\dot{φ}}_{2} (ξ) & = - 2 ξ^{- 1} φ_{2} (ξ) + e^{- φ_{1} (ξ)} \\ φ_{1} (0) & = 0 \\ φ_{2} (0) & = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\varphi}_{1}(\xi) &= \varphi_{2}(\xi) \\ \dot{\varphi}_{2}(\xi) &= -2\xi^{-1}\varphi_{2}(\xi) + e^{-\varphi_{1}(\xi)} \\ \varphi_{1}(0) &= 0 \\ \varphi_{2}(0) &= 0. \end{align}$

$\xi = 0$ $\xi \rightarrow 0$

まず、私たちはそれを知っています

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} φ_{2} (ξ) = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} \varphi_{2}(\xi) = 0, \end{align}$

解が存在すると想定しているため、は微分可能です。つまり、連続である必要があります。ある点での連続関数の限界はその点での値であり、初期条件なので値がわかります。 $\varphi_{2}$ $\varphi_2(0)$

また、

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} e^{- φ_{1} (ξ)} = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} e^{-\varphi_{1}(\xi)} = 1 \end{align}$

同様の理由で; は微分可能であり、連続であり、は初期条件であるため、これを前提としています。 $\varphi_{1}$ $\varphi_{1}(0) = 0$

最終的に、

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} \frac{- 2 φ_{2} (ξ)}{ξ} = lim_{ξ \to 0} - 2 {\dot{φ}}_{2} (ξ), \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} \frac{-2\varphi_{2}(\xi)}{\xi} = \lim_{\xi \rightarrow 0} -2\dot{\varphi}_{2}(\xi), \end{align}$

不ロピタルの法則を使用する。 $0/0$

さらに先に進むには、別の仮定を行う必要があります。はで連続です。次にそれに従います $\dot{\varphi}_{2}$ $\xi = 0$

\begin{aligned} lim_{ξ \to 0} - 2 {\dot{φ}}_{2} (ξ) = - 2 \dot{φ_{2}} (0) . \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\xi \rightarrow 0} -2\dot{\varphi}_{2}(\xi) = -2\dot{\varphi_{2}}(0). \end{align}$

1次ODEに戻り、で右側を評価すると、次のことがわかります。 $\xi = 0$

\begin{aligned} {\dot{φ}}_{1} (0) = 0 \\ {\dot{φ}}_{2} (0) = - 2 {\dot{φ}}_{2} (0) + 1, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\varphi}_{1}(0) = 0 \\ \dot{\varphi}_{2}(0) = -2\dot{\varphi}_{2}(0) + 1, \end{align}$

そこから、その次の。 $\dot{\varphi}_{2}(0) = 1/3$

この分析を使用してif、で右側の関数のこれらの値を返すステートメントをプラグインすることができます。これにより、特異点を乗り越えることができます。とは言っても、この分析では、連続性に関するいくつかの仮定が必要になる場合と保持されない場合があるため、結果として得られるソリューションを1粒の塩で考えます。 $\xi = 0$

— ジェフオックスベリー
ソース

ジェフ、多分あなたはとを意味したのですか？私は解答の起点でのべき級数を既に知っていると私は答えに加えました（多分私は以前にそれをしていたはずです）。とにかく、であることが。文言をやってみます。

φ_{1} = ψ

$\varphi_1 = \psi$

φ_{2} = \dot{ψ}

$\varphi_2 = \dot{\psi}$

\ddot{ψ} (0) = 1 / 3

$\ddot{\psi}(0) = 1 / 3$ if

— astrojuanlu

@ Juanlu001：よかった。間違いを直した。

— Geoff Oxberry

あなたは正しかった！それは単純なif節のように単純でした。ありがとうございました！

— astrojuanlu 2012年

3

ODEソルバーにより多くのオプションが必要な場合は、CVODEパッケージへのバインディングを実装するAssimuloパッケージ（およびRADAUといくつかの単純なインテグレーター）をご覧ください。

— GertVdE
ソース

とても貴重なパッケージ、知らなかった！どうもありがとうございました。

— astrojuanlu

@GertVdE：これらのインテグレータのいずれかが、ifステートメントを使用してとして右側の適切な制限を埋めることに頼らずに特異点を処理できますか？

ξ \to 0

$\xi \rightarrow 0$

— Geoff Oxberry

1

@GeoffOxberry：Sundialsスイート（PythonではAssimuloがラップ）のIDAソルバーを使用すると、ユーザーの推測から始まる一貫した初期値を検索できます。これにより、Juanlu001は最初の推測としてシリーズ拡張から開始し、IDAが正しい（数値的には）IVを解決できるようになります。

— GertVdE 2012年