タグ付けされた質問 「integration」

このコメントで私は書いた： ...デフォルトのSciPyインテグレータ。シンプレクティック法のみを使用していると仮定しています。 odeintここでは、「非スティッフ（Adams）メソッド」または「スティッフ（BDF）メソッド」のいずれかを使用するSciPyを参照しています。ソースによると： def odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0): """ Integrate a system of ordinary differential equations. Solve a system of ordinary differential equations using lsoda from the FORTRAN library odepack. Solves the initial …

25 ode  time-integration  integration  differential-equations 

私の状況。 複雑な積分を通じて定義された複素変数関数があります。私が興味を持っているのは、虚軸上のこの関数の値です。次のリボンのこの関数に数値でアクセスできます：。正式には、積分式はこのドメインの外で発散するため、分析の継続が必要です。写真で私の状況を要約すると、Z = （X 、Y ）∈ （- ∞ 、∞ ）× [ - 1 、1 ]f（z）f(z)f(z)z= （x 、y）∈ （- ∞ 、∞ ）× [ - 1 、1 ]z=(x,y)∈(−∞,∞)×[−1,1]z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1] 数値からこのリボンのについて知っていることは次のとおりです。f（z）f(z)f(z) 虚軸と実軸を同時に対称にします。 ゼロに減衰します。R e （z）→ ∞Re(z)→∞Re(z)\rightarrow\infty 近くで爆発します。ポールまたは分岐ポイントの可能性がありますが、わかりません。この特異点（および分析継続のその他すべての孤立した特異点）の性質は、この関数の特定のパラメーター化に依存していると思われます（詳細については、以下の積分を参照してください）ξz= ± iz=±iz=\pm iξξ\xi 実際、または非常によく似てい。実部のプロットは次のとおりです。1 /（1 + z 2 ）2 nセク2（z）sech2(z)\text{sech}^2(z)1 /（1 + z2）2 n1/(1+z2)2n1/(1+z^2)^{2n} 私の質問は、私が関数について持っている膨大な量の情報（そのリボン上のそれへの合計数値アクセス）を考えると、虚数軸に沿ってこの関数の近似を数値的に計算する方法はありますか？ところでMathematicaを使用しています。 虚軸に沿った値に興味があるのは、この関数の次のフーリエ変換を評価する必要があるためです。 …

11 integration  mathematica  complex-analysis 

で複素関数論のアプリケーションでは、この上級コースの演習の高い振動不可欠で1ポイントで I(λ)=∫∞−∞cos(λcosx)sinxxdxI(λ)=∫−∞∞cos⁡(λcos⁡x)sin⁡xxdxI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x 複素平面で点法を使用して、λλ\lambda大きな値に対して近似する必要があります。 振動性が高いため、この積分は他のほとんどの方法を使用して評価するのは非常に困難です。これらは、異なるスケールでのλ=10λ=10\lambda = 10被積分関数のグラフの2つのフラグメントです。 一次漸近近似は I1(λ)=cos(λ−14π)2πλ−−−√I1(λ)=cos⁡(λ−14π)2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} そして、さらに（はるかに小さい）改良が用語を追加します I2(λ)=18sin(λ−14π)2πλ3−−−√I2(λ)=18sin⁡(λ−14π)2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} λλ\lambda関数としての近似値のグラフは次のようになります。 ここで質問が来ます。近似がどれほど良いかを視覚的に見るために、積分の「実際の値」と比較するか、より正確には独立したアルゴリズムを使用して同じ積分の良い近似と比較したいと思います。サブリーディング補正の小ささにより、これは非常に近いものになると予想されます。 λλ\lambdatanh(sinh)tanh⁡(sinh)\tanh(\sinh) 最後に、実装した重要度サンプルを使用してモンテカルロインテグレーターで運を試しましたが、安定した結果を得ることができませんでした。 λ>1λ>1\lambda > 1

11 quadrature  integration  oscillations 

私は一般に、ログログスペースでよりスムーズでより適切に動作する関数を使用しています。そのため、補間/補外などを実行し、非常にうまく機能します。 これらの数値関数をログ-ログスペースに統合する方法はありますか？ つまりscipy.integrate.cumtrapz、 st を見つけるために、ある種の単純な台形ルールを使用して累積積分を実行することを望んでいます（たとえば、Pythonではを使用）。F(r)F（r）F(r) F（r ）= ∫r0y（x ）dバツF（r）=∫0ry（バツ）dバツF(r) = \int_0^r y(x) \, dx しかし、私はyとx（可能な場合）の代わりに、値とl o g （x ）を使用することを望んでいます。l o g（y）log（y）log(y)l o g（x ）log（バツ）log(x)yyyバツバツx

10 numerics  integration 

一連の点して、を計算し 正確に。は、をノードとする点に関するラグランジュ多項式です。つまり、 これは次数多項式なので、十分な次数の古いガウス求積法を使用できます。これがあればうまく動作あまり大きくないが、大きなための丸め誤差により損なわれた結果につながる。 [ - 1 、1 ] ∫ 1 - 1 L I（X ）{xj}nj=1{xj}j=1n\{x_j\}_{j=1}^n[−1,1][−1,1][-1, 1]L i x j x i L i（x ）= ∏ j ≠ i x − x j∫1−1Li(x)dx∫−11Li(x)dx \int_{-1}^{1} L_i(x)\,\text{d} x LiLiL_ixjxjx_jxixix_innnLi(x)=∏j≠ix−xjxi−xj.Li(x)=∏j≠ix−xjxi−xj. L_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. nnnnnnnnn それらを回避する方法はありますか？

10 quadrature  integration 

私は、ドーマンドプリンス数値法 とキャッシュカープ数値法のどちら がより正確かを知りたいだけです。

9 numerical-analysis  ode  runge-kutta  integration  accuracy 

ガウス関数とローレンツ関数の中間の関数数値で定義しています。ガウス分布よりもはるかに遅く減衰しますが、単純な逆指数よりも高速です。g(x)g(x)g(x) フーリエ変換を大きなに対して計算する必要があります。への関数呼び出しは計算コストが高いため、補間を定義します-これをと呼び -いくつかの巨大な範囲、、それを私の積分に使用します。T G （X ）G （X ）G INT（X ）X - 40 &lt; X &lt; 40f(t)≡F[g(x)](t)f(t)≡F[g(x)](t)f(t)\equiv \mathcal{F}[g(x)](t)tttg(x)g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)gint（x ）gint(x)g_{\text{int}}(x)バツxx− 40 &lt; x &lt; 40−40&lt;x&lt;40-40<x<40 f（t ）= ∫∞- ∞cos（t x ）g（x ）dバツ⟶≈∫L− Lcos（t x ）gint（x ）dバツf(t)=∫−∞∞cos⁡(tx)g(x)dx⟶≈∫−LLcos⁡(tx)gint(x)dxf(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\cos (tx)g(x)\,dx\,\,\underset{\approx}{\longrightarrow}\,\,\,\int_{-L}^{L}\cos(tx)g_{\text{int}}(x)\,dx しかし、フーリエ変換の近似を計算すると、最初は予期していなかった奇妙な振動が発生します。 上の図で示したように、振動の「周期」は約15.7です。私の最初の推測は、これは積分の相殺の交互の性質のアーティファクトであるかもしれないが、それは15.7の観察された「期間」を説明しないでしょう。 T推測= 2 πL≈ 0.157 ...Tguess=2πL≈0.157…T_{\text{guess}}=\frac{2\pi}{L}\approx 0.157\ldots これは、私が観察するものとはまったく異なる100の因数です（はい、積分と水平軸を正しく定義したことを確認しました）。これはどうやってできるの？ 編集＃1：補間の詳細 私は、Mathematicaの組み込みInterpolationで補間しています。これは、3次曲線で連続するポイント間を補間します（したがって、各ポイントで2導関数まで定義されます）。具体的には、関数を範囲でステップで補間しています。 G（X）-40&lt;X&lt;40DX=40 / 100=0.4ndnd^{\text{nd}}g（x ）g(x)g(x)− …

8 interpolation  integration  mathematica  oscillations 

ある場合には(n+1)(n+1)(n+1)の形の次元積分は 通常1は、ドメイン全体にわたって多次元統合ライブラリを使用してこれを評価するであろう [ 0 、1 ] のn + 1。∫[0,1]n+1f(x,y)dnxdy,∫[0,1]n+1f(x,y)dnxdy, \int_{[0,1]^{n+1}} f(x, y)\,\mathrm{d}^n x \,\mathrm{d}y,[0,1]n+1[0,1]n+1[0,1]^{n+1} しかし、1次元の求積法を使用して積分を個別に実行し、多次元積分ライブラリを使用して他のn座標で被積分関数を評価することが理にかなっている条件はありますか？ ∫ [ 0 、1 ] nは G （X ）yyynnn∫[0,1]ng(x)dnx,g(x)=∫10f(x,y)dy.∫[0,1]ng(x)dnx,g(x)=∫01f(x,y)dy. \int_{[0,1]^n}g(x)\,\mathrm{d}^nx, \qquad g(x) = \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y. これは、たとえば、がyの関数として特に滑らかであるがxの関数としては滑らかでない場合に意味があります。しかし、この場合、正確にどれほどスムーズでなければならないのでしょうか。1-d求積法の評価点が多すぎると「無駄」になるため、ほとんど意味がないと思いますが、これが常に当てはまるとは思いません。これは、高次元の統合方法の設計によって保証されますか？fffyyyxxx 自分の場合、ブラックボックスであるが、に区分平滑Y、およびキンクの未知量を有しにジャンプX未知の位置で、かつnは極めて高い（N ≥ 4）の積分にxが有しています特に多くの次元のために何かを行うために。yの積分は、のような通常の方法で実行できます。この例では、関数はyで十分滑らかであり、ほとんど機能しているように見えますが、繰り返しの積分は最終的に30倍遅くなるため、アプローチが誤っているのではないかと思います。fffyyyxxxnnnn≥4n≥4n\geq 4xxxyyyquadgkyyy これが文献のどこですでに議論されているかを知っているなら、それも役に立ちます。 例。 （これが簡単ではない理由です）私が本当に興味を持っているものとは異なり、非常に滑らかな「簡単な」積分を考えてみましょう： 被積分関数で ナイーブ n次元モンテカルロを実行するか、または積分された被積分関数でナイーブ（n − 1 ）次元モンテカルロを x 1について一度積分すると、 g （x 2 ：n）= …

8 numerical-analysis  reference-request  quadrature  integration 

積分を計算する必要があります 私= ∫R0f（r ）Jん（zn mrR） rdrI=∫0Rf(r)Jn(znmrR)rdrI = \int_0^R f(r)J_n\left(\frac{z_{nm}r}{R}\right)rdr ここで、は第1種の次のベッセル関数であり、はそのゼロであり、はやや類似した実数関数です（同じではない、それは非常に複雑であり、通常で用語を伴う時には）。JんJnJ_nんトンの時間nthn^{\mathrm{th}}zn mznmz_{nm}メートルトンの時間mthm^{\mathrm{th}}f（r ）f(r)f(r)JんJnJ_nJ2んJn2J_n^2exp（Jん）exp⁡(Jn)\exp(J_n) 非常に高価であり、この積分は非常に多くの時間を評価しなければならない、私はそれを解決するための最良の（非常に速いが、それでもかなり正確に）数値法を探しています。現在、私は11ポイントの台形ルールを使用しています。しかし、私はClenshaw–CurtisやGauss–Kronrod（低次数）などの他の方法を調査しています。f（r ）f(r)f(r) しかし、特にハンケル変換の計算に必要なものと同様であることを考えると、そのような積分に特に適した方法があるかどうか疑問に思っています。

8 quadrature  integration  special-functions  numerics