ログ-ログスペースの統合

私は一般に、ログログスペースでよりスムーズでより適切に動作する関数を使用しています。そのため、補間/補外などを実行し、非常にうまく機能します。 これらの数値関数をログ-ログスペースに統合する方法はありますか？

つまりscipy.integrate.cumtrapz、 st を見つけるために、ある種の単純な台形ルールを使用して累積積分を実行することを望んでいます（たとえば、Pythonではを使用）。$F(r)$

$$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$$

しかし、私はyとx（可能な場合）の代わりに、値とl o g （x ）を使用することを望んでいます。$log(y)$$log(x)$$y$$x$

変数を変更するだけです。設定= L O G （X ）、Bを（）= L O G （Y （X ））。積分は$a=log(x)$$b(a)=log(y(x))$

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

あなたがから統合しているので、少し注意する必要があります。正確に何をしなければならないかは、y （x ）がどのように見えるかに依存します。$-\infty$$y(x)$

私は、Pythonを使用していないが、私が正しく理解すれば、その後による 次のようなものを考えている Fを = I N T E G R A T E（Y、X）F = [ F 1、。。。、Ｆｎ］は、グリッドｘにわたる積分をサンプリングするベクトルである。

$$F(r)=\int_0^ry(x)dx$$ $$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$$ $\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$$\mathbf{x}$

しかし、あなたはのサンプルはありませんとyは、ではなく、あなたはのサンプル持つX = ログ（X ）とY = ログ（yと）。$x$$y$$\hat{x}=\log(x)$$\hat{y}=\log(y)$

もちろん、最も簡単な方法は次のようになり しかしため、これは、エラーが発生しやすいであろうY （xは）も、滑らかでありませんしかしY（X）です。

$$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$$ $y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

今、台形規則は、本質的に、あなたの入力を前提とし区分的に線形です。あなたがそれを前提とするため、単純な一般化は次のようになりますので、Y（xは）区分的に線形です。$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

この場合には、定義、次のものが Δ F K = ∫ X K + 1つのx のk Y （X ）D 、X = ∫ X K + 1つの、X k個のE yは（X） E 、X、D X = ∫ X K $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$

$$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$$

次いで、規定は、次のものが Y、K + T ≈ Y K + T Δ Y K 及び〜Y（T ）≈ のE bはTと、A = E Y K + X K及びB = $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$

$$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$$ $\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$。$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$

一体となるように

$$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$$

Matlabではこれは次のようになります

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

お役に立てれば！

$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$$\mathbf{\hat{x}}$$F(\hat{x}_1)=0$

$(x_i, y_i)$$(x_{i+1}, y_{i+1})$$y = C_i x^{n_i}$$i$$n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$$C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$$i$

$$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$$ $n_i=-1$

以前の回答のいくつかの変数の変更といくつかのエラーには少し混乱があると思います。対数関数の積分は、積分の対数ではありません。一般に、ログの積分を知っている関数の積分を書き出すことは難しいと思います。誰かがその方法を知っているなら、私は興味があります。

一方、上記の@Stefanのソリューションは、ログログスペースでの関数の統合を回避する方法です。開始点は、処理する関数が十分に小さいセグメントのログ-ログスペースで線形であることです。

$$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$$ $$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$$

$m_1$$n_1$

2つを差し引くと、次のことがわかります。

$$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$$

$$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$$

対数-対数空間でセグメントの方程式が直線に近い場合、通常の（線形）空間では、セグメントの方程式は指数関数に近くなります。

$$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$$

このセグメントの分析公式があれば、統合は簡単です。

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$$

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$$

これはごまかしのように感じますが、これは対数ログスペースでサンプリングされているため、線形スペースの関数を対数ログスペースから派生したパラメーターを使用して指数関数に近似できます。

私が使用するソリューションは、基本的には台形ルールの実装であり、scipy.misc.logsumexp精度を維持するために関数を使用します。lnyの対数を返す関数がある場合、y次のようにできます。

scipy.miscからのインポートlogsumexp
npとしてnumpyをインポートする

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

＃対数的にx間隔の値を取得
xvs = np.logspace（np.log10（xmin）、np.log10（xmax）、10000）

＃xvsで関数を評価する
lys = lny（xvs）

＃台形ルール統合を実施
deltas = np.log（np.diff（xvs））
logI = -np.log（2。）+ logsumexp（[logsumexp（lys [：-1] + deltas）、logsumexp（lys [1：] + deltas）]）

値logIは、必要な積分の対数です。

明らかにこれを設定する必要がある場合、これは機能しませんxmin = 0。ただし、積分にゼロ以外の正の下限がある場合は、ポイントの数を試してxvs、積分が収束する数を見つけることができます。