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で複素関数論のアプリケーションでは、この上級コースの演習の高い振動不可欠で1ポイントで I(λ)=∫∞−∞cos(λcosx)sinxxdxI(λ)=∫−∞∞cos⁡(λcos⁡x)sin⁡xxdxI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x 複素平面で点法を使用して、λλ\lambda大きな値に対して近似する必要があります。 振動性が高いため、この積分は他のほとんどの方法を使用して評価するのは非常に困難です。これらは、異なるスケールでのλ=10λ=10\lambda = 10被積分関数のグラフの2つのフラグメントです。 一次漸近近似は I1(λ)=cos(λ−14π)2πλ−−−√I1(λ)=cos⁡(λ−14π)2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} そして、さらに（はるかに小さい）改良が用語を追加します I2(λ)=18sin(λ−14π)2πλ3−−−√I2(λ)=18sin⁡(λ−14π)2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} λλ\lambda関数としての近似値のグラフは次のようになります。 ここで質問が来ます。近似がどれほど良いかを視覚的に見るために、積分の「実際の値」と比較するか、より正確には独立したアルゴリズムを使用して同じ積分の良い近似と比較したいと思います。サブリーディング補正の小ささにより、これは非常に近いものになると予想されます。 λλ\lambdatanh(sinh)tanh⁡(sinh)\tanh(\sinh) 最後に、実装した重要度サンプルを使用してモンテカルロインテグレーターで運を試しましたが、安定した結果を得ることができませんでした。 λ>1λ>1\lambda > 1

11 quadrature  integration  oscillations 

ガウス関数とローレンツ関数の中間の関数数値で定義しています。ガウス分布よりもはるかに遅く減衰しますが、単純な逆指数よりも高速です。g(x)g(x)g(x) フーリエ変換を大きなに対して計算する必要があります。への関数呼び出しは計算コストが高いため、補間を定義します-これをと呼び -いくつかの巨大な範囲、、それを私の積分に使用します。T G （X ）G （X ）G INT（X ）X - 40 &lt; X &lt; 40f(t)≡F[g(x)](t)f(t)≡F[g(x)](t)f(t)\equiv \mathcal{F}[g(x)](t)tttg(x)g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)gint（x ）gint(x)g_{\text{int}}(x)バツxx− 40 &lt; x &lt; 40−40&lt;x&lt;40-40<x<40 f（t ）= ∫∞- ∞cos（t x ）g（x ）dバツ⟶≈∫L− Lcos（t x ）gint（x ）dバツf(t)=∫−∞∞cos⁡(tx)g(x)dx⟶≈∫−LLcos⁡(tx)gint(x)dxf(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\cos (tx)g(x)\,dx\,\,\underset{\approx}{\longrightarrow}\,\,\,\int_{-L}^{L}\cos(tx)g_{\text{int}}(x)\,dx しかし、フーリエ変換の近似を計算すると、最初は予期していなかった奇妙な振動が発生します。 上の図で示したように、振動の「周期」は約15.7です。私の最初の推測は、これは積分の相殺の交互の性質のアーティファクトであるかもしれないが、それは15.7の観察された「期間」を説明しないでしょう。 T推測= 2 πL≈ 0.157 ...Tguess=2πL≈0.157…T_{\text{guess}}=\frac{2\pi}{L}\approx 0.157\ldots これは、私が観察するものとはまったく異なる100の因数です（はい、積分と水平軸を正しく定義したことを確認しました）。これはどうやってできるの？ 編集＃1：補間の詳細 私は、Mathematicaの組み込みInterpolationで補間しています。これは、3次曲線で連続するポイント間を補間します（したがって、各ポイントで2導関数まで定義されます）。具体的には、関数を範囲でステップで補間しています。 G（X）-40&lt;X&lt;40DX=40 / 100=0.4ndnd^{\text{nd}}g（x ）g(x)g(x)− …

8 interpolation  integration  mathematica  oscillations